DEMOSTRACIÓN DE LA FORMULA DE LA
SUMA PARCIAL DE LOS PRIMEROS
NÚMEROS NATURALES
DEMONSTRATION OF THE FORMULA FOR THE PARTIAL
SUM OF THE FIRST NATURAL NUMBERS
Erik López-García
Tecnológico Nacional de México
Miguel Ángel Chagolla Gaona
Tecnológico Nacional de México
Omar Christian Benítez Centeno
Tecnológico Nacional de México
Alejandro Rojas Ayala
Tecnológico Nacional de México
Enrique de Jesús Moreno Carpintero
Tecnológico Nacional de México
José Ángel Sandoval Erazo
Tecnológico Nacional de México
pág. 6555
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v8i6.15343
Demostración de la Formula de la Suma Parcial de los Primeros Números
Naturales
Erik López-García
1
eriklg@zacatepec.tecnm.mx
https://orcid.org/0000-0003-2667-6474
Tecnológico Nacional de México
IT de Zacatepec
México
Miguel Ángel Chagolla Gaona
miguel.cg@zacatepec.tecnm.mx
https://orcid.org/0009-0001-0915-487X
Tecnológico Nacional de México
IT de Zacatepec
México
Omar Christian Benítez Centeno
omar.bc@zacatepec.tecnm.mx
https://orcid.org/0000-0002-5756-1912
Tecnológico Nacional de México
IT de Zacatepec
México
Alejandro Rojas Ayala
alejandro.ra@zacatepec.tecnm.mx
https://orcid.org/0000-0003-0403-6169
Tecnológico Nacional de México
IT de Zacatepec
México
Enrique de Jesús Moreno Carpintero
enrique.mc@zacatepec.tecnm.mx
https://orcid.org/0000-0002-5472-1503
Tecnológico Nacional de México
IT de Zacatepec
México
José Ángel Sandoval Erazo
l21090859@zacatepec.tecnm.mx
https://orcid.org/0009-0001-7849-3410
Tecnológico Nacional de México
IT de Zacatepec
México
RESUMEN
El primer tipo de números que invento la humanidad fueron los números naturales , y dentro de los
cuales la operación correspondiente que dio origen a su invención fue la suma, ya que a partir de esta
operación cualquier número natural se puede ver como la suma del número natural 1 (por ejemplo
). Ahora que pasa si sumamos números naturales consecutivos ,
el ejercicio es exhausto hacerlo para números muy grandes (por ejemplo, sumar del 1 al 100), sin
embargo, existen fórmulas para este tipo de sumatorias que nos hacen calcular dicha suma de números
con solo realizar unas cuantas operaciones. La fórmula de la suma parcial de números naturales
consecutivos es la siguiente
. Una de las demostraciones es por el método
del principio de inducción matemática, la cual es una demostración directa dado que debes conocer la
fórmula a la que quieres llegar. Aun así, existe otra demostración para llegar a esta fórmula de la suma
parcial
, este es por el método de deducción mediante operaciones; en este artículo
haremos una demostración de este tipo.
Palabras clave: sumas parciales, series, principio de inducción matemática
1
Autor principal.
Correspondencia: omar.bc@zacatepec.tecnm.mx
pág. 6556
Demonstration of the Formula for the Partial Sum of the First Natural
Numbers
ABSTRACT
The first type of numbers invented by humanity were the natural numbers , within which the
corresponding operation leading to their invention was addition. Through this operation, any natural
number can be expressed as the sum of the natural number one (for example, ).
Now, when we sum consecutive natural numbers, such as , performing this
calculation manually becomes exhausting for very large numbers (for example, summing from 1 to
100). However, there are formulas for this type of summation that allow us to compute the sum with
just a few operations. The formula for the partial sum of consecutive natural numbers is as follows:
. One way to demonstrate this formula is through the principle of mathematical
induction, a direct proof method that requires knowing the formula beforehand. Nevertheless, there
exists another method to construct this formula for the partial sum,
, using a deductive
approach based on operations. In this article, we will present a demonstration of this type.
Keywords: partial sums, series, principle of mathematical induction
Artículo recibido 18 noviembre 2024
Aceptado para publicación: 15 diciembre 2024
pág. 6557
INTRODUCCIÓN
¿Qué es una Sucesión de números reales?
Definimos una sucesión de números reales (Spivak, 1967), como una función que va del conjunto de
números naturales a los números reales , es decir, .
Si es una Sucesión, el valor de “ evaluado en la sucesión se denota por
. A los
elementos
se les llama elementos de la sucesión (Rudin, 1980). Luego, a la sucesión se va denotar
como
o
o
(Benavent, 2011).
Ejemplos.
(1) Veamos la sucesión identidad de los números naturales,
, es decir, es la que consta
de la siguiente lista
.
(2) La sucesión cuadrática de los números naturales, viene dada por
, es decir, es la
que consta de la siguiente lista
.
(3) La sucesión de la raíz cuadrada de los números naturales (Burgos, 2006), viene dada por
, es decir, la que consta de la siguiente lista
.
¿Qué es una Serie generada por una sucesión de números reales?
Definimos una Serie de una sucesión de números reales
o simplemente la serie infinita (Black,
2021), como la sucesión
donde
A los números
se les llama los Términos de la serie (Apostol, 2007).
pág. 6558
Ejemplos.
(1) Veamos la serie de la sucesión identidad de los números naturales
. Su serie viene dada por:
o
(2) Esta es la serie de la sucesión cuadrática de los números naturales
, (Casteleiro,
2007). Su serie viene dada de la siguiente forma:
o
(3) La serie de la sucesión de la raíz cuadrada de los números naturales
, viene dada
como sigue:
o
¿Qué es una Suma Parcial de una serie?
Sea
una serie de una sucesión de números reales
, entonces definimos a los números
como Sumas Parciales de la serie (Hardy et al, 2008).
Es conveniente usar símbolos para las sumas parciales de la serie como
pág. 6559
De esta forma (Swokowski, 1983), la serie queda simbolizada de la siguiente manera
Ejemplos.
(1) En la serie de la sucesión identidad de los números naturales
, su serie viene dada por:
es decir,
La suma parcial de los primeros términos (Plans, 1924), viene dada por lo siguiente
(2) En la serie de la sucesión cuadrática de los números naturales
, (Rivera, 2014), su
serie viene dada de la siguiente forma:
O también,
La suma parcial de los primeros términos, viene dada por lo siguiente
(3) La serie de la sucesión de la raíz cuadrada de los números naturales
, viene dada
como sigue:
Es decir,
pág. 6560
La suma parcial de los primeros términos, viene dada por lo siguiente
¿Fórmulas de sumas parciales?
A continuación, daremos algunos ejemplos de las fórmulas que se tienen para diferentes Sumas
Parciales (Ruiz, 2000), veamos.
Ejemplos.
(1) La fórmula para la suma parcial de la serie
,( Zill et al, 2018) viene dada por
(2) La fórmula para la suma parcial de la serie
, es la siguiente
(3) La fórmula para la suma parcial de la serie
, es la siguiente
Para la demostración de este tipo de fórmulas, se pueden hacer de dos formas, la primera de ellas es por
el Principio de Inducción Matemática (Larson et al, 2017) y la segunda es por Deducción mediante
operaciones (Hazewinkel, M. 2001). En este artículo nos enfocaremos en demostrar la formula
mediante el método directo.
METODOLOGÍA
Método del Principio de Inducción Matemática
Una de las propiedades importantes en los números naturales es el principio de Inducción
Matemática, veamos en que consiste.
Supongamos que significa que el número cumple con la propiedad , entonces el principio de
inducción matemática afirma que la propiedad es verdad para los números naturales si se cumple
las siguientes condiciones:
pág. 6561
(1) Que se cumpla.
(2) Si es verdad, entonces se cumple para .
Veamos la demostración de la fórmula de la suma parcial de los primeros números naturales, entiéndase
que se tiene como hipótesis la fórmula de la suma parcial citada.
TEOREMA. La suma parcial de los primeros números naturales consecutivos es
Demostración.
Veamos si se cumple las condiciones del principio de inducción matemática.
(1) ¿Se cumple la fórmula de la sumatoria si , es decir,
?
En efecto, si se cumple, porque al simplificar tenemos la igualdad en ambos miembros de la ecuación
(dado que
), véase lo siguiente
(2) Supongamos que la fórmula es verdadera para algún número natural “”, es decir, se cumple la
siguiente ecuación.
Ahora, vamos a demostrar que se cumple la fórmula para el siguiente número natural, que es , es
decir, que se cumpla la siguiente igualdad
De manera simplificada, la ecuación anterior se vería como
Primero, la sumatoria
, la podemos ver como la sumatoria hasta el numero anterior “” y sumarle
el siguiente número “ ”, es decir
pág. 6562
De aquí podemos sustituir la equivalencia de la sumatoria
que nos dice la ecuación (1)
Y ahora, simplificando y factorizando “ ” tenemos que llegamos a la ecuación 2.
Entonces, la fórmula de la sumatoria es correcta para “ ”; por lo tanto, esto demuestra que la
fórmula de la sumatoria es válida para todos los números .
Método por Deducción
Lo que emplearemos para demostrar el teorema citado, es por deducción, es decir, empleamos
operaciones y las mismas ecuaciones para llegar a la fórmula de la sumatoria.
Veamos la siguiente demostración del teorema donde lo hace por deducción.
TEOREMA. La suma parcial de los primeros números naturales consecutivos es
Demostración.
Primero hacemos la suma directa escribiéndola la suma dos veces, una normal y otra invertida.
Sumamos las dos expresiones, al sumar cada termino correspondiente expresión por expresión, nos
queda de la manera siguiente.
pág. 6563
Cada par de términos suma , y hay términos, por lo tanto
Ahora despejamos
y tenemos la formula a la que queremos llegar
A partir de lo visto anteriormente, utilizaremos esta metodología de deducción mediante operaciones
para realizar una demostración distinta del mismo teorema, lo cual consideramos importante para tener
diferentes formas de llegar al mismo resultado desde diferentes perspectivas.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Demostraremos el Teorema ocupando el mismo método de deducción, que es de alguna forma más
lógica. El razonamiento de la demostración, se basa en el ejemplo del matemático Gauss en el que
resolvió de forma rápida el encontrar la suma de los primeros números naturales hasta llegar al 100;
veamos como lo hacemos.
TEOREMA. La suma parcial de los primeros números naturales consecutivos es
Demostración
Sabemos que la suma del teorema la podemos expresar de la siguiente forma:
Como el numero natural puede ser par o impar, entonces dividimos en dos casos la demostración.
I CASO. Si es par, es decir, para un , entonces el numero
divide a la suma en
dos sumatorias con el mismo número de elementos
pág. 6564
.
Así la suma quedaría expresada de la siguiente forma.
Ahora, a la suma del segundo miembro le vamos hacer el siguiente arreglo, sumamos los elementos de
la sumatoria con ecuación (2) con los sumandos de la sumatoria con ecuación (3) como sigue:
el primer elemento de la ecuación (2) con el ultimo sumando de la ecuación 3 (el cual queda “ ”),
luego el segundo elemento con el penúltimo sumando (quedando “ ”), el tercer elemento
con el antepenúltimo sumando (queda “( ” y así sucesivamente. Al final nos queda la suma
Como notamos, el término “ ” se repite
-veces, entonces la sumatoria se quedaría
La cual es el resultado de la fórmula a la que queríamos llegar.
II CASO. Si es impar, es decir, para algún , entonces el numero
divide
en dos sumatorias a la suma original, donde el número de elementos de cada sumatoria es el mismo
cada una y quedando fuera de las sumatorias el elemento con número .
.
Así, la suma queda expresada de la siguiente forma
.
pág. 6565
Ahora, en la suma del segundo miembro haremos el siguiente arreglo, movemos al final el elemento
y sumamos los elementos de la sumatoria con ecuación (5) con los sumandos de la
sumatoria con ecuación (6) de la manera siguiente: El primer elemento de la ecuación (5) con el ultimo
de la ecuación (6) (el cual queda “ ”), el segundo elemento con el penúltimo (quedando “
”), el tercer elemento con el antepenúltimo (donde queda “ ”) y así sucesivamente.
De esta forma, la suma será
,
.
Como notamos, el término “ ” se repite -veces (donde
), entonces la suma queda
Y llegamos al resultado de la fórmula que queríamos demostrar.
Notamos, que, al realizar la demostración del Teorema mediante el método deductivo, nos encontramos
con un camino más largo, engorroso, con muchas operaciones, pero que, a final de cuentas, no partimos
del hecho de conocer ya la formula, porque no siempre la sabemos y a través de este método, tenemos
la ventaja de que podemos llegar a la formula.
Quizás en un momento dado al utilizar el método descrito en las demostraciones, llegamos a
generalizarlo para descubrir de forma general las fórmulas para las sumatorias de potencias impares.
CONCLUSIONES
Es importante el considerar las fórmulas de las sumas parciales, dado que son el inicio de temas
fundamentales como las Series, Límites, las integrales etc.
pág. 6566
Observamos, que para el método de inducción matemática se tienen que tener la formula a donde
queremos llegar. Una vez que se tiene la formula, es de manera sencilla (comparado con el método
deductivo) obtener la demostración para verificar que se cumple está para todos los números naturales,
también se dice que es un método directo por la simplicidad. Pero, como lo explicamos, tiene la
desventaja de que se necesita la fórmula para emplear dicho método.
Por medio de diferentes caminos, se llegó al mismo resultado, como lo observamos al demostrar la
fórmula de la sumatoria parcial de la secuencia de los números naturales.
Es importante, tener diferentes formas de demostrar una formula, porque algunas veces se pueden dar
equivalencia en definiciones, también encontrar diferentes características o propiedades que están
conllevan. En este caso se puede tener conjeturas, donde por medio del mismo desarrollo de la
demostración del teorema, nos lleva a demostrar la fórmula para la sumatoria parcial donde la secuencia
es de los números naturales elevados al cubo o también, de potencias impares.
Ahora, nos queda seguir trabajando para poder demostrar el resto de fórmulas de una determinada
potencia, ya sea par (por ejemplo,
) o impar (por ejemplo,
), y esto por medio del método deductivo, ya que es con el que estuvimos trabajando;
además de que podemos con este método conocer de manera directa la formula.
Algo que también podemos pensar en aplicar este tipo de demostraciones, es de generalizar dicha
demostración en conceptos más grandes como son series numéricas o algebraicas y quizás nos ayuden
a comprender o dar equivalencias del mismo concepto.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Apostol, T. M. (2007). Calculus: Vol. 1: One-variable calculus with an introduction to linear algebra
(2.ª ed.). Wiley.
Benavent, R. (2011). Teoría y problemas de análisis matemático. Ediciones Paraninfo.
Black, L. (2021). Introducción al análisis matemático de una variable Robert G. Bartle Donald R.
Sherbert 3a ed.
https://www.academia.edu/49923645/Introducci%C3%B3n_al_an%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico
_de_una_variable_Robert_G_Bartle_Donald_R_Sherbert_3a_ed
pág. 6567
Burgos, J. (2006). Análisis matemático I (de una variable real) 100 problemas útiles. García Maroto
Editores.
Casteleiro, J. (2007). Introducción al ánalisis matemático II: cálculo diferencial de varias variables. Esic
Editorial
Hardy, G. H., & Wright, E. M. (2008). An introduction to the theory of numbers (6.ª ed.). Oxford
University Press.
Hazewinkel, M. (2001), «Series», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer.
Larson, R., & Edwards, B. H. (2017). Calculus of a Single Variable. Cengage Learning.
Plans, J. (1924). Nociones de cálculo diferencial absoluto y sus aplicaciones. Talleres Voluntad.
Rivera, F. (2014). Cálculo Integral: Sucesiones y Series de Funciones. Grupo Editorial Patria.
Rudin, W. (1980). Principios de Análisis Matemático (3ª edición). McGraw Hill.
Ruiz, J. (2000). Matemáticas 1 Álgebra en acción Tomo 1. Grupo Editorial Patria.
Spivak, M. (1967). Calculus (en inglés) (World student series edición). Addison Wesley.
Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (Alternate edición), Boston: Prindle,
Weber & Schmidt, ISBN 978-0-87150-341-1.
Zill, D. G., & Dewar, S. (2018). Precalculus with Calculus Previews. Jones & Bartlett Learning.
