ALTERNATIVAS PARA EL ANÁLISIS DE
CORRELACIÓN CUANDO NO SE CUMPLE EL
SUPUESTO DE NORMALIDAD BIVARIANTE:
SIMULACIÓN Y EJEMPLOS EN R
ALTERNATIVES FOR CORRELATION ANALYSIS WHEN
BIVARIATE NORMALITY ASSUMPTION IS NOT MET:
SIMULATION AND EXAMPLES IN R
Jhonier Rangel
Universidad ECCI
Liliana Andrea Ahumada Suárez
Universidad ECCI
Ulpiano Lara-Cristancho
Universidad ECCI
José Alazate
Universidad ECCI
Pitter Javier Cabezas-Chacón
Universidad ECCI
pág. 11311
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v9i1.16701
Alternativas para el análisis de correlación cuando no se cumple el supuesto
de normalidad bivariante: Simulación y ejemplos en R
Jhonier Rangel 1
jrangelg@ecci.edu.co
https://orcid.org/0000-0002-6849-5551
Universidad ECCI
Colombia, Bogotá D.C.
Liliana Andrea Ahumada Suárez
lahumadas@ecci.edu.co
https://orcid.org/0000-0003-3061-5172
Universidad ECCI
Colombia, Bogotá D.C.
Ulpiano Lara-Cristancho
ularac@ecci.edu.co
https://orcid.org/0009-0008-4905-5041
Universidad ECCI
Colombia, Bogotá D.C.
José Alazate
jalzater@ecci.edu.co
https://orcid.org/
Universidad ECCI
Colombia, Bogotá D.C.
Pitter Javier Cabezas-Chacón
pcabezasc@ecci.edu.co
https://orcid.org/0009-0003-9639-4891
Universidad ECCI
Colombia, Bogotá D.C.
RESUMEN
En este trabajo se realiza un análisis crítico sobre el uso del coeficiente de correlación, ya que, en muchos
casos, se emplea de manera inadecuada, lo que puede generar conclusiones e interpretaciones sesgadas,
basadas en comportamientos diferentes a los supuestos considerados. En primer lugar, se realiza una
estimación de muestras bivariantes, tanto de tendencia como de presencia de datos atípicos, y se
argumenta por qué, bajo estos escenarios, es inapropiado utilizar el coeficiente de correlación lineal de
Pearson. Posteriormente, se presentan alternativas para evaluar intervalos de confianza sobre los
coeficientes de correlación de Spearman, Kendall y Kappa de Cohen. Finalmente, se presenta un ejemplo
utilizando los datos de cobertura educativa en primaria y secundaria en Colombia, ya que estos no
cumplen con el supuesto de normalidad bivariante.
Palabras clave: correlación, remuestreo, atipicidad, normalidad
1 Autor principal
Correspondencia: jrangelg@ecci.edu.co
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v9i1.16701
Alternativas para el análisis de correlación cuando no se cumple el supuesto
de normalidad bivariante: Simulación y ejemplos en R
Jhonier Rangel 1
jrangelg@ecci.edu.co
https://orcid.org/0000-0002-6849-5551
Universidad ECCI
Colombia, Bogotá D.C.
Liliana Andrea Ahumada Suárez
lahumadas@ecci.edu.co
https://orcid.org/0000-0003-3061-5172
Universidad ECCI
Colombia, Bogotá D.C.
Ulpiano Lara-Cristancho
ularac@ecci.edu.co
https://orcid.org/0009-0008-4905-5041
Universidad ECCI
Colombia, Bogotá D.C.
José Alazate
jalzater@ecci.edu.co
https://orcid.org/
Universidad ECCI
Colombia, Bogotá D.C.
Pitter Javier Cabezas-Chacón
pcabezasc@ecci.edu.co
https://orcid.org/0009-0003-9639-4891
Universidad ECCI
Colombia, Bogotá D.C.
RESUMEN
En este trabajo se realiza un análisis crítico sobre el uso del coeficiente de correlación, ya que, en muchos
casos, se emplea de manera inadecuada, lo que puede generar conclusiones e interpretaciones sesgadas,
basadas en comportamientos diferentes a los supuestos considerados. En primer lugar, se realiza una
estimación de muestras bivariantes, tanto de tendencia como de presencia de datos atípicos, y se
argumenta por qué, bajo estos escenarios, es inapropiado utilizar el coeficiente de correlación lineal de
Pearson. Posteriormente, se presentan alternativas para evaluar intervalos de confianza sobre los
coeficientes de correlación de Spearman, Kendall y Kappa de Cohen. Finalmente, se presenta un ejemplo
utilizando los datos de cobertura educativa en primaria y secundaria en Colombia, ya que estos no
cumplen con el supuesto de normalidad bivariante.
Palabras clave: correlación, remuestreo, atipicidad, normalidad
1 Autor principal
Correspondencia: jrangelg@ecci.edu.co
pág. 11312
Alternatives for correlation analysis when bivariate normality assumption is
not met: simulation and examples in r
ABSTRACT
This paper presents a critical analysis of the use of the correlation coefficient, as it is often applied
inappropriately, which can lead to biased conclusions and interpretations based on behaviors that deviate
from the assumptions considered. First, an assessment of bivariate samples is carried out, focusing on
trends and the presence of outliers, and the reasons why, under these scenarios, it is inappropriate to use
Pearson's linear correlation coefficient are discussed. Subsequently, alternatives are presented to evaluate
confidence intervals for the correlation coefficients of Spearman, Kendall, and Cohen's Kappa. Finally, an
example is provided using data on primary and secondary education coverage in Colombia, as this data
does not meet the bivariate normality assumption.
Keywords: correlation, resampling, atypicality, normality
Artículo recibido 18 enero 2025
Aceptado para publicación: 24 febrero 2025
Alternatives for correlation analysis when bivariate normality assumption is
not met: simulation and examples in r
ABSTRACT
This paper presents a critical analysis of the use of the correlation coefficient, as it is often applied
inappropriately, which can lead to biased conclusions and interpretations based on behaviors that deviate
from the assumptions considered. First, an assessment of bivariate samples is carried out, focusing on
trends and the presence of outliers, and the reasons why, under these scenarios, it is inappropriate to use
Pearson's linear correlation coefficient are discussed. Subsequently, alternatives are presented to evaluate
confidence intervals for the correlation coefficients of Spearman, Kendall, and Cohen's Kappa. Finally, an
example is provided using data on primary and secondary education coverage in Colombia, as this data
does not meet the bivariate normality assumption.
Keywords: correlation, resampling, atypicality, normality
Artículo recibido 18 enero 2025
Aceptado para publicación: 24 febrero 2025
pág. 11313
INTRODUCCIÓN
Tanto en las ciencias exactas como en las ciencias humanas el análisis de la correlación entre variables
ayuda a evaluar dependencias. Sin embargo, en algunos casos estas dependencias pueden ser no lineales y
no cumplir los supuestos básicos para hacer un análisis, por ese motivo es necesario explorar otro tipo de
coeficientes de correlación no lineal que permite flexibilizar el supuesto de normalidad bi-variante.
En (Martínez r., et al., 2009) se presenta una caracterización por rangos del coeficiente de correlación de
Spearman, el cual permite evaluar la relación entre variables de manera no lineal, pero con presencia de
monotonía, tanto creciente como decreciente. Por otro lado, (Bastías et al., 2013) destacan la importancia
de las Buenas Prácticas de Manufactura, señalando que, en áreas como la medicina, muchas variables,
aunque se representan numéricamente, no son necesariamente variables de razón. (Santabárbara, 2019)
Explica que en muchos estudios solo se presenta el valor estimado del coeficiente de variación. Sin
embargo, el autor argumenta que es una buena práctica registrar un intervalo de confianza que acompañe
la estimación puntual, ya que en muchos casos el coeficiente aparente puede estar muy alejado de cero.
No obstante, al calcular el intervalo, este puede incluir el cero o tener un límite inferior cercano a cero, lo
que indicaría que no existe una correlación significativamente alta. El autor también destaca la ventaja de
utilizar SPSS para calcular el coeficiente de correlación de manera precisa, y en este artículo se explora el
uso del programa R (https://www.R-project.org/).
En Schober et al. (2018) se indica que el coeficiente de correlación lineal de Pearson refleja la asociación
entre variables, donde un cambio en una variable está vinculado a un cambio en otra, ya sea en la misma
(correlación positiva) o en la dirección opuesta (correlación negativa). Para datos continuos y
normalmente distribuidos, se utiliza comúnmente este coeficiente. Sin embargo, para datos no
distribuidos normalmente, datos ordinales o aquellos con valores atípicos relevantes, se emplea el
coeficiente de correlación de rangos de Spearman, que mide la asociación monótona. Ambos coeficientes
tienen un rango de -1 a +1, donde 0 indica ausencia de asociación. Además, se pueden realizar pruebas de
hipótesis y calcular intervalos de confianza para evaluar la significancia y la fuerza de la relación en la
población de origen de los datos. No obstante, en esta investigación también se examinan escenarios en
los que no se cumple el supuesto de normalidad, así como situaciones en las que los datos siguen
distribuidos con comportamientos distribucionales diferentes.
INTRODUCCIÓN
Tanto en las ciencias exactas como en las ciencias humanas el análisis de la correlación entre variables
ayuda a evaluar dependencias. Sin embargo, en algunos casos estas dependencias pueden ser no lineales y
no cumplir los supuestos básicos para hacer un análisis, por ese motivo es necesario explorar otro tipo de
coeficientes de correlación no lineal que permite flexibilizar el supuesto de normalidad bi-variante.
En (Martínez r., et al., 2009) se presenta una caracterización por rangos del coeficiente de correlación de
Spearman, el cual permite evaluar la relación entre variables de manera no lineal, pero con presencia de
monotonía, tanto creciente como decreciente. Por otro lado, (Bastías et al., 2013) destacan la importancia
de las Buenas Prácticas de Manufactura, señalando que, en áreas como la medicina, muchas variables,
aunque se representan numéricamente, no son necesariamente variables de razón. (Santabárbara, 2019)
Explica que en muchos estudios solo se presenta el valor estimado del coeficiente de variación. Sin
embargo, el autor argumenta que es una buena práctica registrar un intervalo de confianza que acompañe
la estimación puntual, ya que en muchos casos el coeficiente aparente puede estar muy alejado de cero.
No obstante, al calcular el intervalo, este puede incluir el cero o tener un límite inferior cercano a cero, lo
que indicaría que no existe una correlación significativamente alta. El autor también destaca la ventaja de
utilizar SPSS para calcular el coeficiente de correlación de manera precisa, y en este artículo se explora el
uso del programa R (https://www.R-project.org/).
En Schober et al. (2018) se indica que el coeficiente de correlación lineal de Pearson refleja la asociación
entre variables, donde un cambio en una variable está vinculado a un cambio en otra, ya sea en la misma
(correlación positiva) o en la dirección opuesta (correlación negativa). Para datos continuos y
normalmente distribuidos, se utiliza comúnmente este coeficiente. Sin embargo, para datos no
distribuidos normalmente, datos ordinales o aquellos con valores atípicos relevantes, se emplea el
coeficiente de correlación de rangos de Spearman, que mide la asociación monótona. Ambos coeficientes
tienen un rango de -1 a +1, donde 0 indica ausencia de asociación. Además, se pueden realizar pruebas de
hipótesis y calcular intervalos de confianza para evaluar la significancia y la fuerza de la relación en la
población de origen de los datos. No obstante, en esta investigación también se examinan escenarios en
los que no se cumple el supuesto de normalidad, así como situaciones en las que los datos siguen
distribuidos con comportamientos distribucionales diferentes.
pág. 11314
n este artículo también se exponen las técnicas de remuestreo Leave One Out (LOO), que consiste en
dejar un individuo fuera en cada remuestreo, y el Bootstrap, que implica extraer muestras mediante
muestreo aleatorio simple. Con estas muestras, se calcula un estimador; en este caso, se obtiene el
coeficiente de correlación para los individuos que pertenecen a la submuestra seleccionada. (Bishara &
Hittner, 2012) ya abordaron el tema, considerando distribuciones distintas a la normal. Sin embargo,
como diferencia clave de esta investigación, en este trabajo se considerará la distribución T multivariante,
contaminada con diferentes proporciones de datos que siguen otro parámetro de centralidad y una matriz
de varianzas y covarianzas distinta.
En el trabajo de (Serna-Morales , J. K., etal.,2024) se expone que los datos de falla bivariados son
comunes en estudios de confiabilidad y supervivencia, donde la estimación de la fuerza de dependencia es
a menudo un paso importante en el análisis de los datos. En la literatura, se ha establecido que los
coeficientes de correlación miden la relación lineal entre dos variables, pero también pueden existir
relaciones no lineales fuertes entre ellas. El coeficiente de concordancia t de Kendall se ha convertido en
una herramienta útil para el análisis de datos bivariados, la cual es usada en pruebas no paramétricas de
independencia y como una medida complementaria de asociación. En el análisis de datos de
confiabilidad, hay un fenómeno que ocurre cuando el valor de las observaciones se conoce parcialmente,
lo cual se conoce como censura. En este trabajo, se comparan vía simulación dos métodos de estimación
del t de Kendall, una de ellas suponiendo normalidad en las distribuciones marginales y ajustándose
individualmente, y la otra basada en cópulas (Gaussiana y Clayton), donde los datos bivariados están
censurados a intervalo.
Otra alternativa que se expone en este artículo es el Bootstrap, cuyo fundamento teórico se detalla en la
literatura. En este caso, se aborda su aplicación en el contexto multivariante. Es importante señalar que las
muestras bootstrap univariantes para cada variable no son equivalentes a las muestras multivariantes
bootstrap, y de hecho, sería erróneo tratar de relacionarlas directamente. Este matiz es crucial para
comprender cómo utilizar correctamente el método en escenarios multivariantes, evitando confusiones y
errores en la interpretación de los resultados (Zientek, L. R., & Thompson, B. , 2007).
Por otro lado, se llevará a cabo una simulación para examinar el impacto de los datos atípicos en la
inferencia del coeficiente clásico. El objetivo es investigar cómo la presencia de valores extremos puede
n este artículo también se exponen las técnicas de remuestreo Leave One Out (LOO), que consiste en
dejar un individuo fuera en cada remuestreo, y el Bootstrap, que implica extraer muestras mediante
muestreo aleatorio simple. Con estas muestras, se calcula un estimador; en este caso, se obtiene el
coeficiente de correlación para los individuos que pertenecen a la submuestra seleccionada. (Bishara &
Hittner, 2012) ya abordaron el tema, considerando distribuciones distintas a la normal. Sin embargo,
como diferencia clave de esta investigación, en este trabajo se considerará la distribución T multivariante,
contaminada con diferentes proporciones de datos que siguen otro parámetro de centralidad y una matriz
de varianzas y covarianzas distinta.
En el trabajo de (Serna-Morales , J. K., etal.,2024) se expone que los datos de falla bivariados son
comunes en estudios de confiabilidad y supervivencia, donde la estimación de la fuerza de dependencia es
a menudo un paso importante en el análisis de los datos. En la literatura, se ha establecido que los
coeficientes de correlación miden la relación lineal entre dos variables, pero también pueden existir
relaciones no lineales fuertes entre ellas. El coeficiente de concordancia t de Kendall se ha convertido en
una herramienta útil para el análisis de datos bivariados, la cual es usada en pruebas no paramétricas de
independencia y como una medida complementaria de asociación. En el análisis de datos de
confiabilidad, hay un fenómeno que ocurre cuando el valor de las observaciones se conoce parcialmente,
lo cual se conoce como censura. En este trabajo, se comparan vía simulación dos métodos de estimación
del t de Kendall, una de ellas suponiendo normalidad en las distribuciones marginales y ajustándose
individualmente, y la otra basada en cópulas (Gaussiana y Clayton), donde los datos bivariados están
censurados a intervalo.
Otra alternativa que se expone en este artículo es el Bootstrap, cuyo fundamento teórico se detalla en la
literatura. En este caso, se aborda su aplicación en el contexto multivariante. Es importante señalar que las
muestras bootstrap univariantes para cada variable no son equivalentes a las muestras multivariantes
bootstrap, y de hecho, sería erróneo tratar de relacionarlas directamente. Este matiz es crucial para
comprender cómo utilizar correctamente el método en escenarios multivariantes, evitando confusiones y
errores en la interpretación de los resultados (Zientek, L. R., & Thompson, B. , 2007).
Por otro lado, se llevará a cabo una simulación para examinar el impacto de los datos atípicos en la
inferencia del coeficiente clásico. El objetivo es investigar cómo la presencia de valores extremos puede
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modificar los resultados obtenidos mediante métodos estadísticos tradicionales, como el cálculo del
coeficiente de correlación. A través de esta simulación, se analizará cómo distintas proporciones de datos
atípicos afectan la precisión y validez de las estimaciones, lo que permitirá obtener una comprensión más
profunda de las limitaciones de los enfoques clásicos cuando se enfrentan a datos que no siguen
distribuciones convencionales.
METODOLOGÍA
En este artículo se analizan los coeficientes de correlación más conocidos, tales como el coeficiente de
correlación lineal de Pearson, el coeficiente de monotonía de Spearman, el coeficiente de concordancia de
Kendall (Shi, X. et al., 2024) y el coeficiente de fiabilidad kappa de Cohen (Fleiss, J. L., et al., 1969)).
𝑟 = 𝑛 ∑𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖𝑦𝑖 − (∑𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖)(∑𝑛
𝑖=1 𝑦𝑖)
√[𝑛 ∑𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖
2 − (∑𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖)2] [𝑛 ∑𝑛
𝑖=1 𝑦𝑖
2 − (∑𝑛
𝑖=1 𝑦𝑖)2]
Un teorema importante que ayuda a interpretar el coeficiente de correlación lineal de Pearson es el
siguiente:
Teorema: El coeficiente de correlación lineal de Pearson de dos variables cuantitativas es el coseno
euclidiano de los dos vectores de observaciones centrados por la media.
Demostración:
El coeficiente de correlación de Pearson se puede interpretar como el coseno del ángulo entre los vectores
que representan las variables centradas. A continuación, se muestra cómo demostrar esta relación:
.𝑟 = 𝑐𝑜𝑣̂ (𝑋,𝑌)
𝜎𝑋̂ 𝜎𝑋̂
𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝜃) =
∑𝑛
𝑖=1 (𝑥𝑖 − 𝑥) (𝑦𝑖 − 𝑦)
√∑𝑛
𝑖=1 (𝑥𝑖 − 𝑥)2 ∑𝑛
𝑖=1 (𝑦𝑖 − 𝑦)2
Muchos métodos estadísticos requieren el uso de supuestos de distribución (Gutiérrez, J. S. R. , 2024) en
este caso este coeficiente tiene el supuesto de la distribución normal bivariada, cuya expresión es la
siguiente:
𝑋~𝑁(𝜇, 𝛴)
Es importante aclarar que el vector de medias no tiene restricciones en el espacio vectorial de dimensión
n. La matriz de varianzas y covarianzas debe ser definida positiva (Smania, G., & Jonsson, E. N., 2021).
modificar los resultados obtenidos mediante métodos estadísticos tradicionales, como el cálculo del
coeficiente de correlación. A través de esta simulación, se analizará cómo distintas proporciones de datos
atípicos afectan la precisión y validez de las estimaciones, lo que permitirá obtener una comprensión más
profunda de las limitaciones de los enfoques clásicos cuando se enfrentan a datos que no siguen
distribuciones convencionales.
METODOLOGÍA
En este artículo se analizan los coeficientes de correlación más conocidos, tales como el coeficiente de
correlación lineal de Pearson, el coeficiente de monotonía de Spearman, el coeficiente de concordancia de
Kendall (Shi, X. et al., 2024) y el coeficiente de fiabilidad kappa de Cohen (Fleiss, J. L., et al., 1969)).
𝑟 = 𝑛 ∑𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖𝑦𝑖 − (∑𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖)(∑𝑛
𝑖=1 𝑦𝑖)
√[𝑛 ∑𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖
2 − (∑𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖)2] [𝑛 ∑𝑛
𝑖=1 𝑦𝑖
2 − (∑𝑛
𝑖=1 𝑦𝑖)2]
Un teorema importante que ayuda a interpretar el coeficiente de correlación lineal de Pearson es el
siguiente:
Teorema: El coeficiente de correlación lineal de Pearson de dos variables cuantitativas es el coseno
euclidiano de los dos vectores de observaciones centrados por la media.
Demostración:
El coeficiente de correlación de Pearson se puede interpretar como el coseno del ángulo entre los vectores
que representan las variables centradas. A continuación, se muestra cómo demostrar esta relación:
.𝑟 = 𝑐𝑜𝑣̂ (𝑋,𝑌)
𝜎𝑋̂ 𝜎𝑋̂
𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝜃) =
∑𝑛
𝑖=1 (𝑥𝑖 − 𝑥) (𝑦𝑖 − 𝑦)
√∑𝑛
𝑖=1 (𝑥𝑖 − 𝑥)2 ∑𝑛
𝑖=1 (𝑦𝑖 − 𝑦)2
Muchos métodos estadísticos requieren el uso de supuestos de distribución (Gutiérrez, J. S. R. , 2024) en
este caso este coeficiente tiene el supuesto de la distribución normal bivariada, cuya expresión es la
siguiente:
𝑋~𝑁(𝜇, 𝛴)
Es importante aclarar que el vector de medias no tiene restricciones en el espacio vectorial de dimensión
n. La matriz de varianzas y covarianzas debe ser definida positiva (Smania, G., & Jonsson, E. N., 2021).
pág. 11316
𝑓(𝑋) = 1
(2𝜋)𝑘/2|𝛴|1/2 𝑒𝑥𝑝 𝑒𝑥𝑝 (− 1
2 (𝑋 − 𝜇)𝑇𝛴−1(𝑋 − 𝜇))
Donde el vector de medias es un objeto que organiza las medias de cada variable, mientras que la matriz
de varianzas y covarianzas contiene las varianzas en su diagonal y las covarianzas fuera de ella.
Otra distribución multivariante importante es la distribución t de Student multivariante, que, al igual que
la anterior, requiere un vector de medias y una matriz de varianzas y covarianzas.
Un vector de medias, una matriz definida positiva y ν caracterizan la distribución t de Student
multivariante. La distribución t multivariante es:
𝑓𝑋(𝑥) = (𝛤 (𝑝 + 𝜈
2 )
𝛤 (𝜈
2) ) (1
𝜋)
𝑝
2
|𝛴|−1
2 (1 + 1
𝜈 (𝑥 − 𝜇)𝑇𝛴−1(𝑥 − 𝜇))
−𝜈+𝑝
2
Esta distribución multivariante tiene presencia de datos atípicos (Azzalini, A., & Capitanio, A. ,2003)).
Para visualizar esto se crea una grilla con cuatro paneles donde se simulan los valores de distribuciones
normales bivariadas y t de Student bivariantes con 5, 10 y 15 grados de libertad, es posible usar Python
junto con bibliotecas como Matplotlib para la visualización y NumPy para la generación de los datos en la
extensión de Google Drive (https://colab.research.google.com/).
𝑓(𝑋) = 1
(2𝜋)𝑘/2|𝛴|1/2 𝑒𝑥𝑝 𝑒𝑥𝑝 (− 1
2 (𝑋 − 𝜇)𝑇𝛴−1(𝑋 − 𝜇))
Donde el vector de medias es un objeto que organiza las medias de cada variable, mientras que la matriz
de varianzas y covarianzas contiene las varianzas en su diagonal y las covarianzas fuera de ella.
Otra distribución multivariante importante es la distribución t de Student multivariante, que, al igual que
la anterior, requiere un vector de medias y una matriz de varianzas y covarianzas.
Un vector de medias, una matriz definida positiva y ν caracterizan la distribución t de Student
multivariante. La distribución t multivariante es:
𝑓𝑋(𝑥) = (𝛤 (𝑝 + 𝜈
2 )
𝛤 (𝜈
2) ) (1
𝜋)
𝑝
2
|𝛴|−1
2 (1 + 1
𝜈 (𝑥 − 𝜇)𝑇𝛴−1(𝑥 − 𝜇))
−𝜈+𝑝
2
Esta distribución multivariante tiene presencia de datos atípicos (Azzalini, A., & Capitanio, A. ,2003)).
Para visualizar esto se crea una grilla con cuatro paneles donde se simulan los valores de distribuciones
normales bivariadas y t de Student bivariantes con 5, 10 y 15 grados de libertad, es posible usar Python
junto con bibliotecas como Matplotlib para la visualización y NumPy para la generación de los datos en la
extensión de Google Drive (https://colab.research.google.com/).
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Figura 1. Distribuciones bivariantes generadas con 100 puntos para cada caso. El primer panel muestra
una distribución normal bivariada, mientras que los tres paneles siguientes muestran distribuciones t de
Student bivariantes con 5, 10 y 15 grados de libertad, respectivamente. Todos los gráficos tienen la
misma escala en los ejes X e Y para facilitar la comparación visual.
En la figura 1, se ve que la distribución T multivariante se diferencia de la distribución normal bivariada
principalmente en su manejo de los datos atípicos y en su forma analítica. La distribución normal
bivariada se concentra alrededor de la media y, debido a su menor cola pesada, es menos propensa a
generar valores extremos. En cambio, la distribución T multivariante, especialmente con grados de
libertad bajos, tiene colas más pesadas, lo que aumenta la probabilidad de generar valores atípicos o
extremos. Analíticamente, la distribución T depende de un parámetro adicional, los grados de libertad,
que controla la forma de las colas. A medida que los grados de libertad disminuyen, las colas se hacen
más gruesas y, por lo tanto, la probabilidad de observar datos atípicos aumenta significativamente. Este
comportamiento contrasta con la distribución normal bivariada, en la cual los datos atípicos son menos
frecuentes y la variabilidad se distribuye de manera más homogénea.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
En este apartado se presentan las simulaciones y los resultados obtenidos a partir de datos normales
bivariantes y de datos con distribución T bivariada, contaminados por diferentes proporciones de valores
atípicos. Se analiza cómo estas contaminaciones afectan la inferencia basada en el supuesto de
normalidad. Además, se realiza una aplicación utilizando los índices de cobertura primaria y secundaria
en los municipios de Colombia durante el año 2023, con el fin de evaluar el impacto de estas
Figura 1. Distribuciones bivariantes generadas con 100 puntos para cada caso. El primer panel muestra
una distribución normal bivariada, mientras que los tres paneles siguientes muestran distribuciones t de
Student bivariantes con 5, 10 y 15 grados de libertad, respectivamente. Todos los gráficos tienen la
misma escala en los ejes X e Y para facilitar la comparación visual.
En la figura 1, se ve que la distribución T multivariante se diferencia de la distribución normal bivariada
principalmente en su manejo de los datos atípicos y en su forma analítica. La distribución normal
bivariada se concentra alrededor de la media y, debido a su menor cola pesada, es menos propensa a
generar valores extremos. En cambio, la distribución T multivariante, especialmente con grados de
libertad bajos, tiene colas más pesadas, lo que aumenta la probabilidad de generar valores atípicos o
extremos. Analíticamente, la distribución T depende de un parámetro adicional, los grados de libertad,
que controla la forma de las colas. A medida que los grados de libertad disminuyen, las colas se hacen
más gruesas y, por lo tanto, la probabilidad de observar datos atípicos aumenta significativamente. Este
comportamiento contrasta con la distribución normal bivariada, en la cual los datos atípicos son menos
frecuentes y la variabilidad se distribuye de manera más homogénea.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
En este apartado se presentan las simulaciones y los resultados obtenidos a partir de datos normales
bivariantes y de datos con distribución T bivariada, contaminados por diferentes proporciones de valores
atípicos. Se analiza cómo estas contaminaciones afectan la inferencia basada en el supuesto de
normalidad. Además, se realiza una aplicación utilizando los índices de cobertura primaria y secundaria
en los municipios de Colombia durante el año 2023, con el fin de evaluar el impacto de estas
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distribuciones en el análisis y los resultados obtenidos.
Se generó un análisis detallado de la relación entre dos variables bajo condiciones normales y
contaminadas utilizando datos bivariantes con una distribución normal. Para ello, se generaron datos
multivariantes con una media de [0,0] y una matriz de covarianzas que reflejaba un coeficiente de
correlación de -0.8. Posteriormente, se crearon muestras contaminadas a diferentes niveles (5%, 10%,
15%, y 20%) mediante la modificación de una porción de las observaciones originales, lo que simuló la
presencia de anomalías o perturbaciones en los datos. Además, se realizó una prueba de Mardia para
evaluar la normalidad multivariante de cada conjunto de datos contaminado, obteniendo los valores p
correspondientes para el sesgo y la curtosis, con el fin de examinar la influencia de la contaminación en la
distribución de los datos.
En términos de correlación, se calcularon tres tipos de coeficientes: Kendall, Spearman y Pearson, para
cada nivel de contaminación. El coeficiente de Pearson se utilizó para evaluar las relaciones lineales y
normales entre las variables, mientras que los coeficientes de Kendall y Spearman fueron empleados para
medir las relaciones no lineales o monotónicas. Los coeficientes de correlación, junto con los valores p
obtenidos de la prueba de Mardia, fueron presentados en una tabla. Además, se generaron gráficos que
ilustran la distribución de las observaciones originales y contaminadas, facilitando la interpretación visual
del impacto de la contaminación en la relación entre las variables.
distribuciones en el análisis y los resultados obtenidos.
Se generó un análisis detallado de la relación entre dos variables bajo condiciones normales y
contaminadas utilizando datos bivariantes con una distribución normal. Para ello, se generaron datos
multivariantes con una media de [0,0] y una matriz de covarianzas que reflejaba un coeficiente de
correlación de -0.8. Posteriormente, se crearon muestras contaminadas a diferentes niveles (5%, 10%,
15%, y 20%) mediante la modificación de una porción de las observaciones originales, lo que simuló la
presencia de anomalías o perturbaciones en los datos. Además, se realizó una prueba de Mardia para
evaluar la normalidad multivariante de cada conjunto de datos contaminado, obteniendo los valores p
correspondientes para el sesgo y la curtosis, con el fin de examinar la influencia de la contaminación en la
distribución de los datos.
En términos de correlación, se calcularon tres tipos de coeficientes: Kendall, Spearman y Pearson, para
cada nivel de contaminación. El coeficiente de Pearson se utilizó para evaluar las relaciones lineales y
normales entre las variables, mientras que los coeficientes de Kendall y Spearman fueron empleados para
medir las relaciones no lineales o monotónicas. Los coeficientes de correlación, junto con los valores p
obtenidos de la prueba de Mardia, fueron presentados en una tabla. Además, se generaron gráficos que
ilustran la distribución de las observaciones originales y contaminadas, facilitando la interpretación visual
del impacto de la contaminación en la relación entre las variables.
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Figura 2. Distribución de los datos originales y contaminados a diferentes niveles de contaminación
(5%, 10%, 15%, 20%) en función de la variable 1 y variable 2. Los puntos azules representan los datos
originales, mientras que los puntos verdes muestran los datos contaminados. Los gráficos ilustran cómo
la contaminación afecta la relación entre las dos variables.
Se evidencia que, aunque localmente hay presencia de correlación negativa, lo más probable es que
estemos ante la presencia del efecto Simpson (Aiyou C., et al., 2009), ya que globalmente puede haber
una correlación positiva. Este fenómeno ocurre cuando una tendencia observada en varios grupos
desaparece o se invierte cuando los datos se combinan, lo que puede llevar a conclusiones erróneas si no
se considera la estructura de los datos y la interacción entre las variables a nivel global y local.
Tabla 1. Resultados de los valores p para los tests de sesgo y curtosis, junto con los coeficientes de
correlación de Kendall, Spearman y Pearson, para distintos niveles de contaminación.
Contaminación (%) Coef. Kendall Coef. Spearman Coef. Pearson
0.00 -0.585578 -0.780344 -0.790705
0.02 -0.522967 -0.675797 -0.356312
0.05 -0.432012 -0.526342 -0.008416
0.10 -0.300268 -0.300594 0.269511
0.15 -0.177898 -0.100592 0.413265
0.20 -0.079512 0.067052 0.492009
Figura 2. Distribución de los datos originales y contaminados a diferentes niveles de contaminación
(5%, 10%, 15%, 20%) en función de la variable 1 y variable 2. Los puntos azules representan los datos
originales, mientras que los puntos verdes muestran los datos contaminados. Los gráficos ilustran cómo
la contaminación afecta la relación entre las dos variables.
Se evidencia que, aunque localmente hay presencia de correlación negativa, lo más probable es que
estemos ante la presencia del efecto Simpson (Aiyou C., et al., 2009), ya que globalmente puede haber
una correlación positiva. Este fenómeno ocurre cuando una tendencia observada en varios grupos
desaparece o se invierte cuando los datos se combinan, lo que puede llevar a conclusiones erróneas si no
se considera la estructura de los datos y la interacción entre las variables a nivel global y local.
Tabla 1. Resultados de los valores p para los tests de sesgo y curtosis, junto con los coeficientes de
correlación de Kendall, Spearman y Pearson, para distintos niveles de contaminación.
Contaminación (%) Coef. Kendall Coef. Spearman Coef. Pearson
0.00 -0.585578 -0.780344 -0.790705
0.02 -0.522967 -0.675797 -0.356312
0.05 -0.432012 -0.526342 -0.008416
0.10 -0.300268 -0.300594 0.269511
0.15 -0.177898 -0.100592 0.413265
0.20 -0.079512 0.067052 0.492009
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En la tabla 1, se evidencia que el coeficiente de correlación de Pearson es especialmente sensible a las
relaciones lineales entre dos variables, lo que lo hace más susceptible a los cambios en la magnitud de los
datos. En la tabla proporcionada, se puede observar que a medida que aumenta el nivel de contaminación
en los datos (de 0% a 20%), el valor de Pearson pasa de ser negativo (-0.79 en 0% de contaminación) a
positivo (0.49 en 20% de contaminación), lo que indica una transición de una relación inversa a una
directa a medida que las observaciones se desvían de la normalidad. Esta sensibilidad refleja cómo
Pearson reacciona a las alteraciones en la relación lineal entre las variables, mientras que otros
coeficientes como Kendall y Spearman, aunque también afectados, son menos sensibles a tales cambios y
pueden captar relaciones no lineales o con más ruido.
En los datos contaminados, se puede observar cómo al aumentar el porcentaje de contaminación, los
coeficientes de correlación cambian drásticamente. Lo interesante es que al contaminar los datos con un
vector alejado del origen, los datos parecen mostrar una relación creciente entre las variables, que en
realidad no existe en los datos originales. Este fenómeno es una manifestación clara del Efecto Simpson,
que ocurre cuando, al combinar datos de diferentes grupos contaminados, se genera una ilusión de
crecimiento en la relación entre las variables. Sin embargo, esta relación no es real, ya que al observar los
datos por separado (sin contaminación o con poca contaminación), se evidencia que no hay una
correlación positiva o incluso puede haber una relación negativa o inversa entre las variables. La
contaminación de los datos al alejar el vector del origen produce un cambio significativo en la forma en
que las variables parecen estar relacionadas, lo que puede generar conclusiones incorrectas si no se tiene
cuidado al interpretar los resultados.
A continuación, se presentan las muestras generadas utilizando una distribución t multivariante con un
vector de medias en el origen y una matriz de varianzas y covarianzas. Estas muestras se derivan de una
mezcla de distribuciones normal y gamma, lo que da como resultado una distribución t multivariante.
Para cada nivel de contaminación (0%, 2%, 5%, 10%, 15%, 20%), se generan datos contaminados a partir
de esta mezcla, permitiendo observar los efectos de la contaminación en la estructura de los datos. El
objetivo es estudiar cómo los datos contaminados afectan la distribución original y cómo los coeficientes
de correlación, como los de Kendall, Spearman y Pearson, responden a la introducción de diferentes
niveles de contaminación.
En la tabla 1, se evidencia que el coeficiente de correlación de Pearson es especialmente sensible a las
relaciones lineales entre dos variables, lo que lo hace más susceptible a los cambios en la magnitud de los
datos. En la tabla proporcionada, se puede observar que a medida que aumenta el nivel de contaminación
en los datos (de 0% a 20%), el valor de Pearson pasa de ser negativo (-0.79 en 0% de contaminación) a
positivo (0.49 en 20% de contaminación), lo que indica una transición de una relación inversa a una
directa a medida que las observaciones se desvían de la normalidad. Esta sensibilidad refleja cómo
Pearson reacciona a las alteraciones en la relación lineal entre las variables, mientras que otros
coeficientes como Kendall y Spearman, aunque también afectados, son menos sensibles a tales cambios y
pueden captar relaciones no lineales o con más ruido.
En los datos contaminados, se puede observar cómo al aumentar el porcentaje de contaminación, los
coeficientes de correlación cambian drásticamente. Lo interesante es que al contaminar los datos con un
vector alejado del origen, los datos parecen mostrar una relación creciente entre las variables, que en
realidad no existe en los datos originales. Este fenómeno es una manifestación clara del Efecto Simpson,
que ocurre cuando, al combinar datos de diferentes grupos contaminados, se genera una ilusión de
crecimiento en la relación entre las variables. Sin embargo, esta relación no es real, ya que al observar los
datos por separado (sin contaminación o con poca contaminación), se evidencia que no hay una
correlación positiva o incluso puede haber una relación negativa o inversa entre las variables. La
contaminación de los datos al alejar el vector del origen produce un cambio significativo en la forma en
que las variables parecen estar relacionadas, lo que puede generar conclusiones incorrectas si no se tiene
cuidado al interpretar los resultados.
A continuación, se presentan las muestras generadas utilizando una distribución t multivariante con un
vector de medias en el origen y una matriz de varianzas y covarianzas. Estas muestras se derivan de una
mezcla de distribuciones normal y gamma, lo que da como resultado una distribución t multivariante.
Para cada nivel de contaminación (0%, 2%, 5%, 10%, 15%, 20%), se generan datos contaminados a partir
de esta mezcla, permitiendo observar los efectos de la contaminación en la estructura de los datos. El
objetivo es estudiar cómo los datos contaminados afectan la distribución original y cómo los coeficientes
de correlación, como los de Kendall, Spearman y Pearson, responden a la introducción de diferentes
niveles de contaminación.
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La metodología de mezcla entre distribuciones normal y gamma se utiliza para simular un escenario en el
que las observaciones fuera de lo común son añadidas a los datos originales. Esta simulación ayuda a
comprender el impacto de los valores atípicos en la distribución y permite evaluar cómo las correlaciones
entre las variables cambian a medida que se aumenta la contaminación. En particular, la introducción de
estos datos contaminados permite explorar los efectos del Efecto Simpson, el cual puede inducir a una
interpretación incorrecta de las relaciones entre las variables, especialmente cuando los datos atípicos
distorsionan la tendencia general.
Figura 3. Visualización de los datos originales (en azul) y los datos contaminados (en rojo) a diferentes
niveles de contaminación. Cada subgráfica corresponde a un nivel específico de contaminación,
variando del 0% al 20%. Los puntos azules representan los datos generados sin contaminación, mientras
que los puntos rojos muestran cómo los datos se ven alterados por la mezcla de distribuciones normal y
gamma, evidenciando el efecto de la contaminación en la estructura de los datos.
La metodología de mezcla entre distribuciones normal y gamma se utiliza para simular un escenario en el
que las observaciones fuera de lo común son añadidas a los datos originales. Esta simulación ayuda a
comprender el impacto de los valores atípicos en la distribución y permite evaluar cómo las correlaciones
entre las variables cambian a medida que se aumenta la contaminación. En particular, la introducción de
estos datos contaminados permite explorar los efectos del Efecto Simpson, el cual puede inducir a una
interpretación incorrecta de las relaciones entre las variables, especialmente cuando los datos atípicos
distorsionan la tendencia general.
Figura 3. Visualización de los datos originales (en azul) y los datos contaminados (en rojo) a diferentes
niveles de contaminación. Cada subgráfica corresponde a un nivel específico de contaminación,
variando del 0% al 20%. Los puntos azules representan los datos generados sin contaminación, mientras
que los puntos rojos muestran cómo los datos se ven alterados por la mezcla de distribuciones normal y
gamma, evidenciando el efecto de la contaminación en la estructura de los datos.
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Tabla 2. Coeficientes de correlación de Kendall, Spearman y Pearson, junto con los valores de sesgo
(Skewness) y curtosis (Kurtosis) para diferentes niveles de contaminación. Los valores de sesgo y curtosis
están presentados con los límites inferior (Lim Inf) y superior (Lim Sup). Los coeficientes de correlación
indican la relación entre las variables en función del porcentaje de contaminación en los datos.
% Kendall Spearman Pearson Sesgo
(2.5%)
Sesgo
(97.5%)
Curtosis
(2.5%)
Curtosis
(97.5%)
0.00 -0.011 -0.015 -0.024 1.058 1.235 1.724 2.271
0.02 0.011 0.017 0.034 1.963 2.260 5.499 7.692
0.05 -0.014 -0.022 -0.026 2.085 2.249 4.786 5.692
0.10 -0.048 -0.073 -0.064 1.836 1.867 2.741 2.754
0.15 0.031 0.047 0.049 1.426 1.451 0.916 0.919
0.20 0.005 0.009 0.014 1.185 1.209 0.065 -0.007
En la tabla 2, se observan variaciones en los coeficientes de correlación, sesgo y curtosis a medida que
aumenta el nivel de contaminación de los datos. En cuanto a los coeficientes de correlación, el valor de
Kendall, Spearman y Pearson muestra cambios moderados con el aumento de la contaminación. En
particular, los coeficientes tienden a volverse más negativos o menos pronunciados cuando la
contaminación es baja (como en el caso de 0% o 2%), sugiriendo que, a niveles bajos de contaminación,
las relaciones entre las variables aún se mantienen relativamente fuertes, aunque con una ligera tendencia
al decrecimiento. A medida que se incrementa la contaminación (especialmente a 10% y 15%), los
coeficientes comienzan a estabilizarse o incluso a cambiar su signo, indicando una pérdida de la
correlación entre las variables.
En cuanto a los valores de sesgo y curtosis, los datos muestran un comportamiento claro con la
contaminación. Al principio, en niveles de contaminación bajos (0% a 5%), los valores de sesgo y
curtosis se mantienen dentro de rangos razonables, pero a medida que la contaminación aumenta
(especialmente a niveles más altos, como 10% y 15%), se observa un aumento significativo en la curtosis,
lo que sugiere una mayor concentración de los datos alrededor de la media o la presencia de valores
extremos más marcados. Este cambio en la curtosis es consistente con los efectos de la contaminación,
que distorsionan la distribución original. En general, la contaminación tiene un impacto considerable
sobre la normalidad de los datos, especialmente a medida que aumenta el nivel de contaminación, lo que
se refleja en el cambio de los coeficientes y las medidas de dispersión como el sesgo y la curtosis.
Ahora, aplicaremos técnicas de remuestreo a los datos de deserción en primaria y secundaria en Colombia
correspondientes al año 2023. Los datos utilizados están disponibles en el sitio web del Ministerio de
Educación Nacional de Colombia y abarcan las tasas de deserción por cada departamento tanto en
Tabla 2. Coeficientes de correlación de Kendall, Spearman y Pearson, junto con los valores de sesgo
(Skewness) y curtosis (Kurtosis) para diferentes niveles de contaminación. Los valores de sesgo y curtosis
están presentados con los límites inferior (Lim Inf) y superior (Lim Sup). Los coeficientes de correlación
indican la relación entre las variables en función del porcentaje de contaminación en los datos.
% Kendall Spearman Pearson Sesgo
(2.5%)
Sesgo
(97.5%)
Curtosis
(2.5%)
Curtosis
(97.5%)
0.00 -0.011 -0.015 -0.024 1.058 1.235 1.724 2.271
0.02 0.011 0.017 0.034 1.963 2.260 5.499 7.692
0.05 -0.014 -0.022 -0.026 2.085 2.249 4.786 5.692
0.10 -0.048 -0.073 -0.064 1.836 1.867 2.741 2.754
0.15 0.031 0.047 0.049 1.426 1.451 0.916 0.919
0.20 0.005 0.009 0.014 1.185 1.209 0.065 -0.007
En la tabla 2, se observan variaciones en los coeficientes de correlación, sesgo y curtosis a medida que
aumenta el nivel de contaminación de los datos. En cuanto a los coeficientes de correlación, el valor de
Kendall, Spearman y Pearson muestra cambios moderados con el aumento de la contaminación. En
particular, los coeficientes tienden a volverse más negativos o menos pronunciados cuando la
contaminación es baja (como en el caso de 0% o 2%), sugiriendo que, a niveles bajos de contaminación,
las relaciones entre las variables aún se mantienen relativamente fuertes, aunque con una ligera tendencia
al decrecimiento. A medida que se incrementa la contaminación (especialmente a 10% y 15%), los
coeficientes comienzan a estabilizarse o incluso a cambiar su signo, indicando una pérdida de la
correlación entre las variables.
En cuanto a los valores de sesgo y curtosis, los datos muestran un comportamiento claro con la
contaminación. Al principio, en niveles de contaminación bajos (0% a 5%), los valores de sesgo y
curtosis se mantienen dentro de rangos razonables, pero a medida que la contaminación aumenta
(especialmente a niveles más altos, como 10% y 15%), se observa un aumento significativo en la curtosis,
lo que sugiere una mayor concentración de los datos alrededor de la media o la presencia de valores
extremos más marcados. Este cambio en la curtosis es consistente con los efectos de la contaminación,
que distorsionan la distribución original. En general, la contaminación tiene un impacto considerable
sobre la normalidad de los datos, especialmente a medida que aumenta el nivel de contaminación, lo que
se refleja en el cambio de los coeficientes y las medidas de dispersión como el sesgo y la curtosis.
Ahora, aplicaremos técnicas de remuestreo a los datos de deserción en primaria y secundaria en Colombia
correspondientes al año 2023. Los datos utilizados están disponibles en el sitio web del Ministerio de
Educación Nacional de Colombia y abarcan las tasas de deserción por cada departamento tanto en
pág. 11323
primaria como en bachillerato. En la gráfica se presenta la estimación de la regresión kernel, destacando
la posible tendencia creciente observada en las tasas de deserción.
Figura 4. Deserción en secundaria en relación con la deserción en primaria, representada mediante un
gráfico de densidad kernel con intervalos de confianza del 95%.
En la figura 4 se observa una relación positiva directa entre las variables. Sin embargo, para evaluar
adecuadamente la correlación, es necesario recurrir a un índice de correlación y, en este caso, al
coeficiente de correlación lineal de Pearson. No obstante, antes de utilizar este coeficiente, es
fundamental someter los datos a una prueba de normalidad multivariante. En este estudio, se empleó el
test de Mardia (Wulandari, D., et al., 2021), cuyo resultado arrojó un valor p de 0.012. Dado que este
valor es menor al nivel de significancia del 5%, se rechaza la hipótesis nula, lo que indica que los datos
no siguen una distribución normal multivariante. Por lo tanto, el uso del coeficiente de correlación lineal
de Pearson no es adecuado en este caso.
En este artículo, se ha utilizado un enfoque basado en técnicas de remuestreo para analizar la relación
entre la deserción en la educación en primaria y en secundaria en Colombia, a partir de datos
proporcionados por el Ministerio de Educación Nacional en 2023. Las técnicas de remuestreo aplicadas
incluyen "Leave One Out" (LOO), que permite evaluar la estabilidad de las estimaciones obtenidas al
excluir sucesivamente una observación en cada iteración. Esta metodología es útil para obtener intervalos
de confianza y evaluar el comportamiento de los estimadores sin depender de supuestos de normalidad,
los cuales no se cumplen en este caso según lo indicado por los resultados de las pruebas de normalidad
multivariante.
En lugar de utilizar un único conjunto de datos, la técnica Leave One Out permite crear muestras
primaria como en bachillerato. En la gráfica se presenta la estimación de la regresión kernel, destacando
la posible tendencia creciente observada en las tasas de deserción.
Figura 4. Deserción en secundaria en relación con la deserción en primaria, representada mediante un
gráfico de densidad kernel con intervalos de confianza del 95%.
En la figura 4 se observa una relación positiva directa entre las variables. Sin embargo, para evaluar
adecuadamente la correlación, es necesario recurrir a un índice de correlación y, en este caso, al
coeficiente de correlación lineal de Pearson. No obstante, antes de utilizar este coeficiente, es
fundamental someter los datos a una prueba de normalidad multivariante. En este estudio, se empleó el
test de Mardia (Wulandari, D., et al., 2021), cuyo resultado arrojó un valor p de 0.012. Dado que este
valor es menor al nivel de significancia del 5%, se rechaza la hipótesis nula, lo que indica que los datos
no siguen una distribución normal multivariante. Por lo tanto, el uso del coeficiente de correlación lineal
de Pearson no es adecuado en este caso.
En este artículo, se ha utilizado un enfoque basado en técnicas de remuestreo para analizar la relación
entre la deserción en la educación en primaria y en secundaria en Colombia, a partir de datos
proporcionados por el Ministerio de Educación Nacional en 2023. Las técnicas de remuestreo aplicadas
incluyen "Leave One Out" (LOO), que permite evaluar la estabilidad de las estimaciones obtenidas al
excluir sucesivamente una observación en cada iteración. Esta metodología es útil para obtener intervalos
de confianza y evaluar el comportamiento de los estimadores sin depender de supuestos de normalidad,
los cuales no se cumplen en este caso según lo indicado por los resultados de las pruebas de normalidad
multivariante.
En lugar de utilizar un único conjunto de datos, la técnica Leave One Out permite crear muestras
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repetidas al eliminar una observación de cada vez y calcular las estadísticas de interés, como la media y la
correlación, para cada muestra. Este enfoque nos proporciona una visión más robusta de los resultados, ya
que reduce el sesgo que podría generarse si se utilizara el conjunto de datos completo. De esta manera, se
obtiene un intervalo de confianza del 95% para las estadísticas calculadas, como el coeficiente de
correlación de Spearman entre la deserción primaria y secundaria. Además, se calcula el valor de la
correlación en cada iteración para observar la variabilidad de los estimadores. Estas técnicas, combinadas
con gráficos de distribución, permiten evaluar la confiabilidad de las conclusiones obtenidas sobre la
relación entre las variables de deserción escolar.
Figura 5. Distribución de los coeficientes de correlación de Spearman para las diferentes muestras
generadas mediante la técnica "Leave One Out". En la gráfica se muestra el histograma junto con la
densidad estimada, así como los intervalos de confianza al 95% (en verde) y los percentiles del 0.5% y
99.5% (en rojo). La línea negra indica la media de los coeficientes de correlación.
En la Figura 5 se observa que los intervalos de confianza generados mediante las metodologías de
remuestreo no son simétricos. Esto contrasta con los intervalos derivados bajo la suposición de un modelo
distribucional previamente definido, los cuales sí presentan simetría. Esta asimetría sugiere que asumir un
modelo de distribución específico podría llevar a una aproximación más precisa. Además, se puede
concluir que existe una correlación directa significativa entre la deserción primaria y secundaria, ya que el
intervalo de confianza no incluye el valor cero. De hecho, el intervalo obtenido es un subconjunto que
supera el umbral de 0.5, lo que refuerza la presencia de una relación positiva entre ambas variables.
CONCLUSIONES
Esta investigación subraya la importancia de un uso adecuado del coeficiente de correlación,
repetidas al eliminar una observación de cada vez y calcular las estadísticas de interés, como la media y la
correlación, para cada muestra. Este enfoque nos proporciona una visión más robusta de los resultados, ya
que reduce el sesgo que podría generarse si se utilizara el conjunto de datos completo. De esta manera, se
obtiene un intervalo de confianza del 95% para las estadísticas calculadas, como el coeficiente de
correlación de Spearman entre la deserción primaria y secundaria. Además, se calcula el valor de la
correlación en cada iteración para observar la variabilidad de los estimadores. Estas técnicas, combinadas
con gráficos de distribución, permiten evaluar la confiabilidad de las conclusiones obtenidas sobre la
relación entre las variables de deserción escolar.
Figura 5. Distribución de los coeficientes de correlación de Spearman para las diferentes muestras
generadas mediante la técnica "Leave One Out". En la gráfica se muestra el histograma junto con la
densidad estimada, así como los intervalos de confianza al 95% (en verde) y los percentiles del 0.5% y
99.5% (en rojo). La línea negra indica la media de los coeficientes de correlación.
En la Figura 5 se observa que los intervalos de confianza generados mediante las metodologías de
remuestreo no son simétricos. Esto contrasta con los intervalos derivados bajo la suposición de un modelo
distribucional previamente definido, los cuales sí presentan simetría. Esta asimetría sugiere que asumir un
modelo de distribución específico podría llevar a una aproximación más precisa. Además, se puede
concluir que existe una correlación directa significativa entre la deserción primaria y secundaria, ya que el
intervalo de confianza no incluye el valor cero. De hecho, el intervalo obtenido es un subconjunto que
supera el umbral de 0.5, lo que refuerza la presencia de una relación positiva entre ambas variables.
CONCLUSIONES
Esta investigación subraya la importancia de un uso adecuado del coeficiente de correlación,
pág. 11325
especialmente cuando se consideran los supuestos subyacentes de los métodos estadísticos. El análisis
reveló que, en situaciones donde los datos no cumplen con los supuestos de normalidad multivariante o
presentan atípicos, el uso del coeficiente de correlación lineal de Pearson puede no ser apropiado, ya que
podría generar interpretaciones erróneas. Ante esta situación, las alternativas de remuestreo, como el
método Leave-One-Out y el bootstrap, se presentan como herramientas robustas, ya que permiten obtener
estimaciones de intervalos de confianza sin depender de distribuciones paramétricas. Estas técnicas no
solo ofrecen una mayor flexibilidad, sino que proporcionan estimaciones más confiables al evitar las
restricciones asociadas con los métodos tradicionales. En el contexto colombiano, los resultados indican
que existe una correlación significativa y directa entre la deserción escolar en primaria y secundaria. Este
hallazgo es crucial para los responsables de las políticas educativas, ya que sugiere que las intervenciones
en el nivel primario podrían tener un impacto directo en la reducción de la deserción en niveles
educativos posteriores. En este sentido, es fundamental que las autoridades educativas utilicen estos
análisis para diseñar políticas más eficaces que aborden de manera integral los factores que afectan la
permanencia de los estudiantes en el sistema educativo.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Martínez Ortega, R. M., Tuya Pendás, L. C., Martínez Ortega, M., Pérez Abreu, A., & Cánovas, A. M.
(2009). El coeficiente de correlación de los rangos de Spearman caracterización. Revista
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Bastías, J. M., Cuadra, M., Muñoz, O., & Quevedo, R. (2013). Correlación entre las buenas prácticas de
manufactura y el cumplimiento de los criterios microbiológicos en la fabricación de helados en
Chile. Revista chilena de nutrición, 40(2), 161-168.
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sintaxis en SPSS. REIRE Revista d'Innovació i Recerca en Educació, 12(2), 1-14.
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interpretation. Anesthesia & analgesia, 126(5), 1763-1768.
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Bishara, A. J., & Hittner, J. B. (2012). Testing the significance of a correlation with nonnormal data:
comparison of Pearson, Spearman, transformation, and resampling approaches. Psychological
especialmente cuando se consideran los supuestos subyacentes de los métodos estadísticos. El análisis
reveló que, en situaciones donde los datos no cumplen con los supuestos de normalidad multivariante o
presentan atípicos, el uso del coeficiente de correlación lineal de Pearson puede no ser apropiado, ya que
podría generar interpretaciones erróneas. Ante esta situación, las alternativas de remuestreo, como el
método Leave-One-Out y el bootstrap, se presentan como herramientas robustas, ya que permiten obtener
estimaciones de intervalos de confianza sin depender de distribuciones paramétricas. Estas técnicas no
solo ofrecen una mayor flexibilidad, sino que proporcionan estimaciones más confiables al evitar las
restricciones asociadas con los métodos tradicionales. En el contexto colombiano, los resultados indican
que existe una correlación significativa y directa entre la deserción escolar en primaria y secundaria. Este
hallazgo es crucial para los responsables de las políticas educativas, ya que sugiere que las intervenciones
en el nivel primario podrían tener un impacto directo en la reducción de la deserción en niveles
educativos posteriores. En este sentido, es fundamental que las autoridades educativas utilicen estos
análisis para diseñar políticas más eficaces que aborden de manera integral los factores que afectan la
permanencia de los estudiantes en el sistema educativo.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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manufactura y el cumplimiento de los criterios microbiológicos en la fabricación de helados en
Chile. Revista chilena de nutrición, 40(2), 161-168.
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sintaxis en SPSS. REIRE Revista d'Innovació i Recerca en Educació, 12(2), 1-14.
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