DINÁMICA DEL MODELO DE
SOLOW‑SWAN MEDIANTE ECUACIONES
DIFERENCIALES
DYNAMICS OF THE SOLOW–SWAN MODEL
THROUGH DIFFERENTIAL EQUATIONS
Pedro Saucedo
Universidad de Panamá, Panamá
Eric Antonio Acevedo
Universidad de Panamá, Panamá
Daniel Sánchez Díaz
Universidad de Panamá, Panamá
Assem Nadim Abou Ltaif Goti
Investigador Independiente, Panamá
pág. 12436
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v10i1.22984
Dinámica del Modelo de Solow‑Swan mediante Ecuaciones Diferenciales
Pedro Saucedo1
Pedro.saucedo@up.ac.pa
https://orcid.org/0009-0007-0539-4554
Universidad de Panamá
Panamá
Eric Antonio Acevedo
eric.acevedo@up.ac.pa
https://orcid.org/0009-0004-5925-6497
Universidad de Panamá
Panamá
Daniel Sánchez Díaz
daniel-a.sanchez@up.ac.pa
https://orcid.org/0009-008-4326-5734
Universidad de Panamá
Panamá
Assem Nadim Abou Ltaif Goti
assem.gotti@gmail.com
https://orcid.org/0009-0007-6820-2134
Investigador Independiente
Panamá
RESUMEN
El modelo de Solow-Swan constituye uno de los marcos fundamentales para comprender la dinámica
del crecimiento económico de largo plazo. Este artículo profundiza en el análisis matemático del modelo
mediante el desarrollo formal de sus ecuaciones diferenciales, destacando cómo la interacción entre
ahorro, depreciación y crecimiento poblacional determina la evolución del capital per cápita. Se
examina la ecuación diferencial autónoma que describe la dinámica del sistema, se identifica el estado
estacionario y se evalúa su estabilidad mediante análisis cualitativo. Asimismo, se construyen
diagramas de fase que permiten visualizar la convergencia hacia el equilibrio y se discuten extensiones
modernas del modelo que incorporan retardos temporales, funciones de producción alternativas y
progreso tecnológico endógeno. Los resultados muestran que el modelo básico presenta un equilibrio
estable y globalmente convergente, mientras que sus extensiones pueden generar dinámicas más
complejas. El estudio aporta una comprensión más profunda del comportamiento dinámico del modelo
y de su relevancia para la teoría del crecimiento económico.
Palabras clave: crecimiento, solow, dinámica, ecuaciones, estabilidad
1 Autor principal
Correspondencia: Pedro.saucedo@up.ac.pa
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v10i1.22984
Dinámica del Modelo de Solow‑Swan mediante Ecuaciones Diferenciales
Pedro Saucedo1
Pedro.saucedo@up.ac.pa
https://orcid.org/0009-0007-0539-4554
Universidad de Panamá
Panamá
Eric Antonio Acevedo
eric.acevedo@up.ac.pa
https://orcid.org/0009-0004-5925-6497
Universidad de Panamá
Panamá
Daniel Sánchez Díaz
daniel-a.sanchez@up.ac.pa
https://orcid.org/0009-008-4326-5734
Universidad de Panamá
Panamá
Assem Nadim Abou Ltaif Goti
assem.gotti@gmail.com
https://orcid.org/0009-0007-6820-2134
Investigador Independiente
Panamá
RESUMEN
El modelo de Solow-Swan constituye uno de los marcos fundamentales para comprender la dinámica
del crecimiento económico de largo plazo. Este artículo profundiza en el análisis matemático del modelo
mediante el desarrollo formal de sus ecuaciones diferenciales, destacando cómo la interacción entre
ahorro, depreciación y crecimiento poblacional determina la evolución del capital per cápita. Se
examina la ecuación diferencial autónoma que describe la dinámica del sistema, se identifica el estado
estacionario y se evalúa su estabilidad mediante análisis cualitativo. Asimismo, se construyen
diagramas de fase que permiten visualizar la convergencia hacia el equilibrio y se discuten extensiones
modernas del modelo que incorporan retardos temporales, funciones de producción alternativas y
progreso tecnológico endógeno. Los resultados muestran que el modelo básico presenta un equilibrio
estable y globalmente convergente, mientras que sus extensiones pueden generar dinámicas más
complejas. El estudio aporta una comprensión más profunda del comportamiento dinámico del modelo
y de su relevancia para la teoría del crecimiento económico.
Palabras clave: crecimiento, solow, dinámica, ecuaciones, estabilidad
1 Autor principal
Correspondencia: Pedro.saucedo@up.ac.pa
pág. 12437
Dynamics of the Solow–Swan Model through Differential Equations
ABSTRACT
The Solow–Swan model is one of the foundational frameworks for understanding long‑run economic
growth. This article provides an in‑depth mathematical examination of the model through the formal
development of its differential equations, emphasizing how the interaction among savings, depreciation,
and population growth shapes the evolution of capital per worker. The autonomous differential equation
governing the system’s dynamics is analyzed to identify the steady state and evaluate its stability using
qualitative methods. Phase diagrams are constructed to illustrate convergence toward equilibrium, and
modern extensions of the model are discussed, including time delays, alternative production functions,
and endogenous technological progress. The results show that the basic model exhibits a stable and
globally convergent equilibrium, while its extensions may generate more complex dynamics. This study
offers a deeper understanding of the model’s dynamic behavior and its significance within growth
theory.
Keywords: growth, solow, dynamics, equations, stability
Artículo recibido 02 febrero 2026
Aceptado para publicación: 27 febrero 2026
Dynamics of the Solow–Swan Model through Differential Equations
ABSTRACT
The Solow–Swan model is one of the foundational frameworks for understanding long‑run economic
growth. This article provides an in‑depth mathematical examination of the model through the formal
development of its differential equations, emphasizing how the interaction among savings, depreciation,
and population growth shapes the evolution of capital per worker. The autonomous differential equation
governing the system’s dynamics is analyzed to identify the steady state and evaluate its stability using
qualitative methods. Phase diagrams are constructed to illustrate convergence toward equilibrium, and
modern extensions of the model are discussed, including time delays, alternative production functions,
and endogenous technological progress. The results show that the basic model exhibits a stable and
globally convergent equilibrium, while its extensions may generate more complex dynamics. This study
offers a deeper understanding of the model’s dynamic behavior and its significance within growth
theory.
Keywords: growth, solow, dynamics, equations, stability
Artículo recibido 02 febrero 2026
Aceptado para publicación: 27 febrero 2026
pág. 12438
INTRODUCCIÓN
El estudio del crecimiento económico ha sido uno de los ejes centrales de la teoría macroeconómica
desde mediados del siglo XX, y dentro de este campo el modelo de Solow–Swan ocupa un lugar
privilegiado como la formulación más influyente y duradera para explicar la evolución del ingreso y la
productividad en el largo plazo. Propuesto de manera independiente por Robert Solow y Trevor Swan
en 1956, el modelo introdujo una estructura analítica capaz de superar las limitaciones del enfoque
Harrod‑Domar, particularmente su tendencia a la inestabilidad y su dependencia de condiciones muy
restrictivas para lograr un crecimiento equilibrado. En contraste, el modelo de Solow–Swan mostró que,
bajo supuestos neoclásicos razonables, la economía converge de manera natural hacia un estado
estacionario estable, determinado por la interacción entre ahorro, depreciación, crecimiento poblacional
y progreso tecnológico.
Más allá de su importancia histórica, el modelo destaca por su formulación dinámica basada en
ecuaciones diferenciales, lo que permite estudiar la trayectoria temporal del capital per cápita y
comprender cómo la economía responde a cambios en sus parámetros fundamentales. La ecuación
diferencial que describe la evolución del capital por trabajador sintetiza la esencia del proceso de
acumulación: la inversión neta resultado del ahorro impulsa el crecimiento del capital, mientras que la
depreciación y el crecimiento de la fuerza laboral actúan como fuerzas que lo reducen. Esta estructura
genera una dinámica no lineal que puede analizarse mediante herramientas matemáticas como el estudio
de estabilidad, los diagramas de fase y el análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales autónomas.
Sin embargo, a pesar de que el modelo es ampliamente enseñado en cursos de macroeconomía, su
dimensión matemática suele presentarse de manera simplificada, enfocándose en la intuición económica
y dejando de lado el potencial analítico que ofrece un tratamiento riguroso de sus ecuaciones
diferenciales. Este vacío es particularmente relevante porque la dinámica del modelo, su
comportamiento fuera del equilibrio, la velocidad de convergencia, la sensibilidad a los parámetros y la
estabilidad global, solo puede comprenderse plenamente mediante un análisis formal de la ecuación
diferencial que lo gobierna. Además, el estudio matemático del modelo permite establecer conexiones
con sistemas dinámicos más complejos y con extensiones modernas que incorporan nuevas variables,
retardos temporales o funciones de producción alternativas.
INTRODUCCIÓN
El estudio del crecimiento económico ha sido uno de los ejes centrales de la teoría macroeconómica
desde mediados del siglo XX, y dentro de este campo el modelo de Solow–Swan ocupa un lugar
privilegiado como la formulación más influyente y duradera para explicar la evolución del ingreso y la
productividad en el largo plazo. Propuesto de manera independiente por Robert Solow y Trevor Swan
en 1956, el modelo introdujo una estructura analítica capaz de superar las limitaciones del enfoque
Harrod‑Domar, particularmente su tendencia a la inestabilidad y su dependencia de condiciones muy
restrictivas para lograr un crecimiento equilibrado. En contraste, el modelo de Solow–Swan mostró que,
bajo supuestos neoclásicos razonables, la economía converge de manera natural hacia un estado
estacionario estable, determinado por la interacción entre ahorro, depreciación, crecimiento poblacional
y progreso tecnológico.
Más allá de su importancia histórica, el modelo destaca por su formulación dinámica basada en
ecuaciones diferenciales, lo que permite estudiar la trayectoria temporal del capital per cápita y
comprender cómo la economía responde a cambios en sus parámetros fundamentales. La ecuación
diferencial que describe la evolución del capital por trabajador sintetiza la esencia del proceso de
acumulación: la inversión neta resultado del ahorro impulsa el crecimiento del capital, mientras que la
depreciación y el crecimiento de la fuerza laboral actúan como fuerzas que lo reducen. Esta estructura
genera una dinámica no lineal que puede analizarse mediante herramientas matemáticas como el estudio
de estabilidad, los diagramas de fase y el análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales autónomas.
Sin embargo, a pesar de que el modelo es ampliamente enseñado en cursos de macroeconomía, su
dimensión matemática suele presentarse de manera simplificada, enfocándose en la intuición económica
y dejando de lado el potencial analítico que ofrece un tratamiento riguroso de sus ecuaciones
diferenciales. Este vacío es particularmente relevante porque la dinámica del modelo, su
comportamiento fuera del equilibrio, la velocidad de convergencia, la sensibilidad a los parámetros y la
estabilidad global, solo puede comprenderse plenamente mediante un análisis formal de la ecuación
diferencial que lo gobierna. Además, el estudio matemático del modelo permite establecer conexiones
con sistemas dinámicos más complejos y con extensiones modernas que incorporan nuevas variables,
retardos temporales o funciones de producción alternativas.
pág. 12439
El propósito de este artículo es profundizar en la dinámica del modelo de Solow–Swan mediante un
análisis detallado de sus ecuaciones diferenciales, explorando tanto su formulación básica como sus
implicaciones dinámicas. En primer lugar, se presenta la estructura fundamental del modelo, destacando
los supuestos neoclásicos que permiten expresar la producción en términos per cápita y derivar la
ecuación diferencial central. Posteriormente, se analiza el estado estacionario y se estudia su estabilidad
mediante herramientas matemáticas, mostrando que el equilibrio es globalmente estable bajo
condiciones estándar de concavidad y rendimientos decrecientes del capital. Este análisis se
complementa con diagramas de fase que ilustran visualmente la convergencia hacia el equilibrio y
permiten interpretar la dinámica del capital en distintos escenarios.
El artículo también examina extensiones contemporáneas del modelo que enriquecen su estructura
dinámica. Entre ellas se incluyen modelos con retardos temporales, que introducen ecuaciones
diferenciales con memoria y pueden generar oscilaciones alrededor del equilibrio; modelos con
progreso tecnológico endógeno, que transforman el sistema en un conjunto de ecuaciones diferenciales
acopladas; y modelos con funciones de producción alternativas, como la CES o la translog, que
modifican la forma de la ecuación diferencial y pueden alterar la estabilidad del sistema. Estas
extensiones muestran que el modelo de Solow–Swan, lejos de ser una estructura rígida, constituye un
marco flexible que puede adaptarse para capturar dinámicas más complejas del crecimiento económico.
El análisis detallado de la dinámica del modelo no solo permite comprender mejor su comportamiento
interno, sino que también ofrece una base sólida para evaluar su relevancia empírica y sus limitaciones.
En un contexto donde la modelación matemática y los sistemas dinámicos adquieren un papel cada vez
más importante en la economía moderna, retomar el modelo de Solow–Swan desde una perspectiva
rigurosa resulta especialmente pertinente. Este enfoque permite apreciar la elegancia matemática del
modelo, su capacidad para generar predicciones robustas y su utilidad como punto de partida para
teorías más avanzadas del crecimiento económico.
MARCO TEÓRICO
El modelo de Solow–Swan se inscribe dentro de la tradición neoclásica del crecimiento económico y
constituye uno de los marcos analíticos más influyentes para estudiar la evolución del ingreso y la
productividad en el largo plazo.
El propósito de este artículo es profundizar en la dinámica del modelo de Solow–Swan mediante un
análisis detallado de sus ecuaciones diferenciales, explorando tanto su formulación básica como sus
implicaciones dinámicas. En primer lugar, se presenta la estructura fundamental del modelo, destacando
los supuestos neoclásicos que permiten expresar la producción en términos per cápita y derivar la
ecuación diferencial central. Posteriormente, se analiza el estado estacionario y se estudia su estabilidad
mediante herramientas matemáticas, mostrando que el equilibrio es globalmente estable bajo
condiciones estándar de concavidad y rendimientos decrecientes del capital. Este análisis se
complementa con diagramas de fase que ilustran visualmente la convergencia hacia el equilibrio y
permiten interpretar la dinámica del capital en distintos escenarios.
El artículo también examina extensiones contemporáneas del modelo que enriquecen su estructura
dinámica. Entre ellas se incluyen modelos con retardos temporales, que introducen ecuaciones
diferenciales con memoria y pueden generar oscilaciones alrededor del equilibrio; modelos con
progreso tecnológico endógeno, que transforman el sistema en un conjunto de ecuaciones diferenciales
acopladas; y modelos con funciones de producción alternativas, como la CES o la translog, que
modifican la forma de la ecuación diferencial y pueden alterar la estabilidad del sistema. Estas
extensiones muestran que el modelo de Solow–Swan, lejos de ser una estructura rígida, constituye un
marco flexible que puede adaptarse para capturar dinámicas más complejas del crecimiento económico.
El análisis detallado de la dinámica del modelo no solo permite comprender mejor su comportamiento
interno, sino que también ofrece una base sólida para evaluar su relevancia empírica y sus limitaciones.
En un contexto donde la modelación matemática y los sistemas dinámicos adquieren un papel cada vez
más importante en la economía moderna, retomar el modelo de Solow–Swan desde una perspectiva
rigurosa resulta especialmente pertinente. Este enfoque permite apreciar la elegancia matemática del
modelo, su capacidad para generar predicciones robustas y su utilidad como punto de partida para
teorías más avanzadas del crecimiento económico.
MARCO TEÓRICO
El modelo de Solow–Swan se inscribe dentro de la tradición neoclásica del crecimiento económico y
constituye uno de los marcos analíticos más influyentes para estudiar la evolución del ingreso y la
productividad en el largo plazo.
pág. 12440
Su formulación parte de la idea de que la producción agregada de una economía depende de tres factores
fundamentales: el capital físico, el trabajo y el nivel de tecnología. A diferencia de modelos previos,
como el de Harrod‑Domar, que presentaban trayectorias inherentemente inestables, Solow y Swan
demostraron que, bajo supuestos razonables de rendimientos decrecientes y comportamiento
optimizador, la economía converge hacia un estado estacionario estable. Esta contribución transformó
la teoría del crecimiento al introducir un enfoque dinámico basado en ecuaciones diferenciales que
describe la evolución temporal del capital per cápita.
Fundamentos neoclásicos del modelo.
El modelo se construye sobre una función de producción agregada 𝐹(𝐾, 𝐿) que cumple tres propiedades
esenciales: rendimientos constantes a escala, productividad marginal decreciente y condiciones de
Inada. Estas características garantizan que la economía pueda representarse en términos per cápita
mediante la función 𝑦 = 𝑓(𝑘), donde 𝑘 es el capital por trabajador. La dinámica del modelo surge de
la interacción entre la inversión (determinada por la tasa de ahorro) y la depreciación del capital, junto
con el crecimiento de la población. Esta estructura permite derivar una ecuación diferencial autónoma
que describe la evolución del capital per cápita y que constituye el núcleo matemático del modelo.
La ecuación diferencial como representación dinámica.
La ecuación diferencial fundamental del modelo,
𝑑𝑘
𝑑𝑡 = 𝑠𝑓(𝑘) − (𝛿 + 𝑛)𝑘
resume el proceso de acumulación de capital. El término 𝑠𝑓(𝑘) representa la inversión por trabajador,
mientras que (𝛿 + 𝑛)𝑘 recoge la depreciación del capital y el efecto del crecimiento poblacional. Esta
formulación permite analizar la trayectoria temporal del capital, identificar el estado estacionario y
estudiar su estabilidad.
La ecuación es no lineal y autónoma, lo que facilita el uso de herramientas de análisis cualitativo, como
diagramas de fase y evaluación de derivadas, para comprender el comportamiento del sistema sin
necesidad de soluciones explícitas.
Su formulación parte de la idea de que la producción agregada de una economía depende de tres factores
fundamentales: el capital físico, el trabajo y el nivel de tecnología. A diferencia de modelos previos,
como el de Harrod‑Domar, que presentaban trayectorias inherentemente inestables, Solow y Swan
demostraron que, bajo supuestos razonables de rendimientos decrecientes y comportamiento
optimizador, la economía converge hacia un estado estacionario estable. Esta contribución transformó
la teoría del crecimiento al introducir un enfoque dinámico basado en ecuaciones diferenciales que
describe la evolución temporal del capital per cápita.
Fundamentos neoclásicos del modelo.
El modelo se construye sobre una función de producción agregada 𝐹(𝐾, 𝐿) que cumple tres propiedades
esenciales: rendimientos constantes a escala, productividad marginal decreciente y condiciones de
Inada. Estas características garantizan que la economía pueda representarse en términos per cápita
mediante la función 𝑦 = 𝑓(𝑘), donde 𝑘 es el capital por trabajador. La dinámica del modelo surge de
la interacción entre la inversión (determinada por la tasa de ahorro) y la depreciación del capital, junto
con el crecimiento de la población. Esta estructura permite derivar una ecuación diferencial autónoma
que describe la evolución del capital per cápita y que constituye el núcleo matemático del modelo.
La ecuación diferencial como representación dinámica.
La ecuación diferencial fundamental del modelo,
𝑑𝑘
𝑑𝑡 = 𝑠𝑓(𝑘) − (𝛿 + 𝑛)𝑘
resume el proceso de acumulación de capital. El término 𝑠𝑓(𝑘) representa la inversión por trabajador,
mientras que (𝛿 + 𝑛)𝑘 recoge la depreciación del capital y el efecto del crecimiento poblacional. Esta
formulación permite analizar la trayectoria temporal del capital, identificar el estado estacionario y
estudiar su estabilidad.
La ecuación es no lineal y autónoma, lo que facilita el uso de herramientas de análisis cualitativo, como
diagramas de fase y evaluación de derivadas, para comprender el comportamiento del sistema sin
necesidad de soluciones explícitas.
pág. 12441
Estado estacionario y estabilidad
El equilibrio del modelo se define por el punto en el cual la inversión neta es igual a cero, es decir,
cuando la economía deja de acumular capital per cápita. Este estado estacionario surge de la igualdad
𝑠𝑓(𝑘∗) = (𝛿 + 𝑛)𝑘∗
La estabilidad del equilibrio depende de la forma de la función de producción y de la relación entre
ahorro, depreciación y crecimiento poblacional. Bajo los supuestos neoclásicos, el equilibrio es
globalmente estable: si el capital inicial es inferior al nivel estacionario, la inversión supera la
depreciación y el capital crece; si es superior, ocurre lo contrario. Este comportamiento garantiza que
la economía converge hacia el estado estacionario independientemente de su punto de partida, lo que
constituye una de las conclusiones más importantes del modelo.
Aportes y limitaciones del modelo básico.
El modelo de Solow–Swan ha sido fundamental para explicar la convergencia económica entre países,
el papel del ahorro y la importancia del progreso tecnológico. Sin embargo, su carácter exógeno respecto
a la tecnología y su simplicidad estructural han motivado el desarrollo de extensiones que buscan
capturar dinámicas más complejas. Entre las principales limitaciones se encuentran la ausencia de
decisiones microfundamentadas sobre ahorro, la falta de mecanismos internos de innovación y la
imposibilidad de generar crecimiento sostenido sin progreso tecnológico externo.
Extensiones modernas del modelo
La literatura contemporánea ha ampliado el modelo incorporando nuevas ecuaciones diferenciales que
modifican su comportamiento dinámico. Algunas de las extensiones más relevantes incluyen:
1. Progreso tecnológico endógeno, donde la tecnología evoluciona según una ecuación diferencial
adicional.
2. Funciones de producción alternativas, como la CES, que alteran la forma de la ecuación diferencial
y pueden modificar la estabilidad del equilibrio.
3. Modelos con retardos temporales, que introducen memoria en el sistema y pueden generar
oscilaciones o ciclos alrededor del estado estacionario.
4. Sistemas dinámicos de mayor dimensión, que permiten estudiar interacciones entre capital físico,
capital humano y tecnología.
Estado estacionario y estabilidad
El equilibrio del modelo se define por el punto en el cual la inversión neta es igual a cero, es decir,
cuando la economía deja de acumular capital per cápita. Este estado estacionario surge de la igualdad
𝑠𝑓(𝑘∗) = (𝛿 + 𝑛)𝑘∗
La estabilidad del equilibrio depende de la forma de la función de producción y de la relación entre
ahorro, depreciación y crecimiento poblacional. Bajo los supuestos neoclásicos, el equilibrio es
globalmente estable: si el capital inicial es inferior al nivel estacionario, la inversión supera la
depreciación y el capital crece; si es superior, ocurre lo contrario. Este comportamiento garantiza que
la economía converge hacia el estado estacionario independientemente de su punto de partida, lo que
constituye una de las conclusiones más importantes del modelo.
Aportes y limitaciones del modelo básico.
El modelo de Solow–Swan ha sido fundamental para explicar la convergencia económica entre países,
el papel del ahorro y la importancia del progreso tecnológico. Sin embargo, su carácter exógeno respecto
a la tecnología y su simplicidad estructural han motivado el desarrollo de extensiones que buscan
capturar dinámicas más complejas. Entre las principales limitaciones se encuentran la ausencia de
decisiones microfundamentadas sobre ahorro, la falta de mecanismos internos de innovación y la
imposibilidad de generar crecimiento sostenido sin progreso tecnológico externo.
Extensiones modernas del modelo
La literatura contemporánea ha ampliado el modelo incorporando nuevas ecuaciones diferenciales que
modifican su comportamiento dinámico. Algunas de las extensiones más relevantes incluyen:
1. Progreso tecnológico endógeno, donde la tecnología evoluciona según una ecuación diferencial
adicional.
2. Funciones de producción alternativas, como la CES, que alteran la forma de la ecuación diferencial
y pueden modificar la estabilidad del equilibrio.
3. Modelos con retardos temporales, que introducen memoria en el sistema y pueden generar
oscilaciones o ciclos alrededor del estado estacionario.
4. Sistemas dinámicos de mayor dimensión, que permiten estudiar interacciones entre capital físico,
capital humano y tecnología.
pág. 12442
Estas extensiones muestran que el modelo de Solow–Swan es un punto de partida flexible para analizar
dinámicas económicas complejas y que su formulación diferencial permite explorar comportamientos
que van más allá de la convergencia estable del modelo básico.
Formulación matemática del modelo.
La formulación matemática del modelo de Solow–Swan constituye el núcleo analítico que permite
estudiar su comportamiento dinámico. Esta sección desarrolla de manera rigurosa la estructura formal
del modelo, partiendo de la función de producción agregada y avanzando hacia la ecuación diferencial
que describe la evolución del capital per cápita. El objetivo es establecer las bases matemáticas
necesarias para el análisis dinámico posterior, incluyendo estabilidad, convergencia y comportamiento
fuera del equilibrio.
Función de producción agregada.
El modelo parte de una función de producción neoclásica:
𝑌(𝑡) = 𝐹(𝐾(𝑡), 𝐿(𝑡))
donde 𝑌(𝑡) es la producción total, 𝐾(𝑡) el capital físico y 𝐿(𝑡) la fuerza laboral. La función 𝐹 cumple
tres propiedades fundamentales:
1. Rendimientos constantes a escala: 𝐹(𝜆𝐾, 𝜆𝐿) = 𝜆𝐹(𝐾, 𝐿)
2. Productividades marginales decrecientes: 𝐹𝐾 < 0, 𝐹𝐿 < 0, 𝐹𝐾𝐾 < 0, 𝐹𝐿𝐿 < 0
3. Condiciones de Inada: lim
𝑘→0 𝑓′(𝑘) = ∞, lim
𝑘→∞ 𝑓′(𝑘) = 0
Estas propiedades garantizan que el modelo tenga un equilibrio único y estable.
Transformación a variables per cápita.
Dado que la población crece a una tasa constante 𝑛 , se define:
𝐿(𝑡) = 𝐿0𝑒𝑛𝑡
Para estudiar la dinámica del capital por trabajador, se introduce:
𝑘(𝑡) = 𝐾(𝑡)
𝐿(𝑡) , 𝑦(𝑡) = 𝑌(𝑡)
𝐿(𝑡) = 𝑓(𝑘(𝑡)).
La función 𝑓(𝑘) hereda las propiedades de 𝐹: es creciente, cóncava y cumple las condiciones de Inada.
Acumulación de capital y ecuación fundamental.
La acumulación de capital total está dada por:
Estas extensiones muestran que el modelo de Solow–Swan es un punto de partida flexible para analizar
dinámicas económicas complejas y que su formulación diferencial permite explorar comportamientos
que van más allá de la convergencia estable del modelo básico.
Formulación matemática del modelo.
La formulación matemática del modelo de Solow–Swan constituye el núcleo analítico que permite
estudiar su comportamiento dinámico. Esta sección desarrolla de manera rigurosa la estructura formal
del modelo, partiendo de la función de producción agregada y avanzando hacia la ecuación diferencial
que describe la evolución del capital per cápita. El objetivo es establecer las bases matemáticas
necesarias para el análisis dinámico posterior, incluyendo estabilidad, convergencia y comportamiento
fuera del equilibrio.
Función de producción agregada.
El modelo parte de una función de producción neoclásica:
𝑌(𝑡) = 𝐹(𝐾(𝑡), 𝐿(𝑡))
donde 𝑌(𝑡) es la producción total, 𝐾(𝑡) el capital físico y 𝐿(𝑡) la fuerza laboral. La función 𝐹 cumple
tres propiedades fundamentales:
1. Rendimientos constantes a escala: 𝐹(𝜆𝐾, 𝜆𝐿) = 𝜆𝐹(𝐾, 𝐿)
2. Productividades marginales decrecientes: 𝐹𝐾 < 0, 𝐹𝐿 < 0, 𝐹𝐾𝐾 < 0, 𝐹𝐿𝐿 < 0
3. Condiciones de Inada: lim
𝑘→0 𝑓′(𝑘) = ∞, lim
𝑘→∞ 𝑓′(𝑘) = 0
Estas propiedades garantizan que el modelo tenga un equilibrio único y estable.
Transformación a variables per cápita.
Dado que la población crece a una tasa constante 𝑛 , se define:
𝐿(𝑡) = 𝐿0𝑒𝑛𝑡
Para estudiar la dinámica del capital por trabajador, se introduce:
𝑘(𝑡) = 𝐾(𝑡)
𝐿(𝑡) , 𝑦(𝑡) = 𝑌(𝑡)
𝐿(𝑡) = 𝑓(𝑘(𝑡)).
La función 𝑓(𝑘) hereda las propiedades de 𝐹: es creciente, cóncava y cumple las condiciones de Inada.
Acumulación de capital y ecuación fundamental.
La acumulación de capital total está dada por:
pág. 12443
𝑑𝐾
𝑑𝑡 = 𝑠𝑌(𝑡) − 𝛿𝐾(𝑡)
donde:
𝑠 es la tasa de ahorro,
𝛿 es la tasa de depreciación.
Dividiendo entre 𝐿(𝑡) y usando la regla del cociente:
𝑑𝑘
𝑑𝑡 = 𝑠𝑓(𝑘) − (𝛿 + 𝑛)𝑘
Esta es la ecuación diferencial fundamental del modelo, una ecuación autónoma, no lineal y de primer
orden.
Interpretación económica de la ecuación diferencial.
Cada término tiene un significado económico preciso:
Inversión por trabajador: 𝑠𝑓(𝑘) representa la parte del producto destinada a aumentar el capital.
Depreciación efectiva: (𝛿 + 𝑛)𝑘 combina la depreciación física del capital y la necesidad de equipar a
los nuevos trabajadores.
La dinámica del capital depende del signo de: 𝑠𝑓(𝑘) − (𝛿 + 𝑛)𝑘
1. Si es positivo, el capital crece.
2. Si es negativo, el capital disminuye.
3. Si es cero, la economía está en equilibrio.
Estado estacionario
El estado estacionario 𝑘∗ se obtiene resolviendo:
𝑠𝑓(𝑘∗) = (𝛿 + 𝑛)𝑘∗
Este punto representa el nivel de capital por trabajador en el cual la inversión neta es exactamente igual
a cero.
Propiedades matemáticas de la ecuación diferencial.
La ecuación:
𝑑𝑘
𝑑𝑡 = 𝑔(𝑘) = 𝑠𝑓(𝑘) − (𝛿 + 𝑛)𝑘
posee las siguientes propiedades:
𝑑𝐾
𝑑𝑡 = 𝑠𝑌(𝑡) − 𝛿𝐾(𝑡)
donde:
𝑠 es la tasa de ahorro,
𝛿 es la tasa de depreciación.
Dividiendo entre 𝐿(𝑡) y usando la regla del cociente:
𝑑𝑘
𝑑𝑡 = 𝑠𝑓(𝑘) − (𝛿 + 𝑛)𝑘
Esta es la ecuación diferencial fundamental del modelo, una ecuación autónoma, no lineal y de primer
orden.
Interpretación económica de la ecuación diferencial.
Cada término tiene un significado económico preciso:
Inversión por trabajador: 𝑠𝑓(𝑘) representa la parte del producto destinada a aumentar el capital.
Depreciación efectiva: (𝛿 + 𝑛)𝑘 combina la depreciación física del capital y la necesidad de equipar a
los nuevos trabajadores.
La dinámica del capital depende del signo de: 𝑠𝑓(𝑘) − (𝛿 + 𝑛)𝑘
1. Si es positivo, el capital crece.
2. Si es negativo, el capital disminuye.
3. Si es cero, la economía está en equilibrio.
Estado estacionario
El estado estacionario 𝑘∗ se obtiene resolviendo:
𝑠𝑓(𝑘∗) = (𝛿 + 𝑛)𝑘∗
Este punto representa el nivel de capital por trabajador en el cual la inversión neta es exactamente igual
a cero.
Propiedades matemáticas de la ecuación diferencial.
La ecuación:
𝑑𝑘
𝑑𝑡 = 𝑔(𝑘) = 𝑠𝑓(𝑘) − (𝛿 + 𝑛)𝑘
posee las siguientes propiedades:
pág. 12444
1. Es autónoma, pues no depende explícitamente del tiempo.
2. Es continuamente diferenciable, dado que 𝑓(𝑘) lo es.
3. Tiene un único punto de equilibrio positivo, garantizado por la concavidad de 𝑓(𝑘).
4. Presenta estabilidad global, ya que: 𝑔′(𝑘) = 𝑠𝑓′(𝑘) − (𝛿 + 𝑛) < 0 para valores suficientemente
grandes de 𝑘 , y 𝑔′(0) = 𝑠𝑓′(0) − (𝛿 + 𝑛) > 0 por las condiciones de Inada.
Estas propiedades permiten aplicar análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales para estudiar la
convergencia hacia el equilibrio.
Representación gráfica
La ecuación diferencial puede visualizarse mediante dos curvas:
1. Curva de inversión: 𝑠𝑓(𝑘)
2. Curva de depreciación: (𝛿 + 𝑛)𝑘
El cruce determina 𝑘∗, la posición relativa de las curvas determina la dirección del movimiento del
capital.
Equilibrio y estabilidad del modelo.
El análisis del equilibrio y la estabilidad constituye uno de los elementos centrales en la comprensión
dinámica del modelo de Solow–Swan. A partir de la ecuación diferencial fundamental que describe la
evolución del capital por trabajador, es posible identificar el estado estacionario, estudiar su estabilidad
local y global, y caracterizar el comportamiento de la economía en torno a dicho punto. Esta sección
desarrolla estos elementos de manera rigurosa, integrando interpretación económica y análisis
matemático.
Definición del estado estacionario
El estado estacionario se define como el nivel de capital por trabajador 𝑘∗ en el cual la economía deja
de experimentar cambios en el tiempo. Matemáticamente, corresponde al punto donde la inversión por
trabajador es exactamente igual a la depreciación efectiva del capital:
𝑑𝑘
𝑑𝑡 = 0
Sustituyendo en la ecuación diferencial fundamental,
1. Es autónoma, pues no depende explícitamente del tiempo.
2. Es continuamente diferenciable, dado que 𝑓(𝑘) lo es.
3. Tiene un único punto de equilibrio positivo, garantizado por la concavidad de 𝑓(𝑘).
4. Presenta estabilidad global, ya que: 𝑔′(𝑘) = 𝑠𝑓′(𝑘) − (𝛿 + 𝑛) < 0 para valores suficientemente
grandes de 𝑘 , y 𝑔′(0) = 𝑠𝑓′(0) − (𝛿 + 𝑛) > 0 por las condiciones de Inada.
Estas propiedades permiten aplicar análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales para estudiar la
convergencia hacia el equilibrio.
Representación gráfica
La ecuación diferencial puede visualizarse mediante dos curvas:
1. Curva de inversión: 𝑠𝑓(𝑘)
2. Curva de depreciación: (𝛿 + 𝑛)𝑘
El cruce determina 𝑘∗, la posición relativa de las curvas determina la dirección del movimiento del
capital.
Equilibrio y estabilidad del modelo.
El análisis del equilibrio y la estabilidad constituye uno de los elementos centrales en la comprensión
dinámica del modelo de Solow–Swan. A partir de la ecuación diferencial fundamental que describe la
evolución del capital por trabajador, es posible identificar el estado estacionario, estudiar su estabilidad
local y global, y caracterizar el comportamiento de la economía en torno a dicho punto. Esta sección
desarrolla estos elementos de manera rigurosa, integrando interpretación económica y análisis
matemático.
Definición del estado estacionario
El estado estacionario se define como el nivel de capital por trabajador 𝑘∗ en el cual la economía deja
de experimentar cambios en el tiempo. Matemáticamente, corresponde al punto donde la inversión por
trabajador es exactamente igual a la depreciación efectiva del capital:
𝑑𝑘
𝑑𝑡 = 0
Sustituyendo en la ecuación diferencial fundamental,
pág. 12445
𝑑𝑘
𝑑𝑡 = 𝑠𝑓(𝑘) − (𝛿 + 𝑛)𝑘
el estado estacionario se obtiene resolviendo:
𝑠𝑓(𝑘∗) = (𝛿 + 𝑛)𝑘∗
Este punto representa el nivel de capital por trabajador en el cual la inversión neta es nula. La existencia
de un único equilibrio positivo está garantizada por la concavidad de la función de producción y por las
condiciones de Inada, que aseguran que la inversión es inicialmente muy alta y eventualmente
insuficiente para compensar la depreciación.
Interpretación económica del equilibrio
El equilibrio refleja un balance entre dos fuerzas:
1. La inversión, que impulsa el crecimiento del capital por trabajador.
2. La depreciación efectiva, que incluye tanto la depreciación física del capital como el crecimiento
de la población.
En niveles bajos de capital, la productividad marginal es alta y la inversión supera la depreciación, lo
que genera crecimiento. En niveles altos, la productividad marginal disminuye y la depreciación
domina, reduciendo el capital. El equilibrio surge como el punto donde ambas fuerzas se igualan.
Estabilidad del estado estacionario.
Para estudiar la estabilidad del equilibrio, se analiza el signo de la derivada de la función dinámica:
𝑔(𝑘) = 𝑠𝑓(𝑘) − (𝛿 + 𝑛)𝑘
La estabilidad local se determina evaluando:
𝑔′(𝑘) = 𝑠𝑓′(𝑘) − (𝛿 + 𝑛)
En el punto de equilibrio 𝑘∗, la estabilidad requiere: 𝑔′(𝑘) < 0.
Dado que 𝑓′(𝑘) es decreciente y tiende a cero cuando 𝑘 crece, y que las condiciones de Inada garantizan
que 𝑓′(𝑘) es muy grande cuando 𝑘 es pequeño, se cumple que:
Para 𝑘 < 𝑘∗, 𝑔(𝑘) > 0 y el capital crece.
Para 𝑘 > 𝑘∗, 𝑔(𝑘) < 0 y el capital disminuye.
Esto implica que el equilibrio es asintóticamente estable: cualquier desviación del estado estacionario
genera fuerzas que empujan a la economía de regreso hacia él.
𝑑𝑘
𝑑𝑡 = 𝑠𝑓(𝑘) − (𝛿 + 𝑛)𝑘
el estado estacionario se obtiene resolviendo:
𝑠𝑓(𝑘∗) = (𝛿 + 𝑛)𝑘∗
Este punto representa el nivel de capital por trabajador en el cual la inversión neta es nula. La existencia
de un único equilibrio positivo está garantizada por la concavidad de la función de producción y por las
condiciones de Inada, que aseguran que la inversión es inicialmente muy alta y eventualmente
insuficiente para compensar la depreciación.
Interpretación económica del equilibrio
El equilibrio refleja un balance entre dos fuerzas:
1. La inversión, que impulsa el crecimiento del capital por trabajador.
2. La depreciación efectiva, que incluye tanto la depreciación física del capital como el crecimiento
de la población.
En niveles bajos de capital, la productividad marginal es alta y la inversión supera la depreciación, lo
que genera crecimiento. En niveles altos, la productividad marginal disminuye y la depreciación
domina, reduciendo el capital. El equilibrio surge como el punto donde ambas fuerzas se igualan.
Estabilidad del estado estacionario.
Para estudiar la estabilidad del equilibrio, se analiza el signo de la derivada de la función dinámica:
𝑔(𝑘) = 𝑠𝑓(𝑘) − (𝛿 + 𝑛)𝑘
La estabilidad local se determina evaluando:
𝑔′(𝑘) = 𝑠𝑓′(𝑘) − (𝛿 + 𝑛)
En el punto de equilibrio 𝑘∗, la estabilidad requiere: 𝑔′(𝑘) < 0.
Dado que 𝑓′(𝑘) es decreciente y tiende a cero cuando 𝑘 crece, y que las condiciones de Inada garantizan
que 𝑓′(𝑘) es muy grande cuando 𝑘 es pequeño, se cumple que:
Para 𝑘 < 𝑘∗, 𝑔(𝑘) > 0 y el capital crece.
Para 𝑘 > 𝑘∗, 𝑔(𝑘) < 0 y el capital disminuye.
Esto implica que el equilibrio es asintóticamente estable: cualquier desviación del estado estacionario
genera fuerzas que empujan a la economía de regreso hacia él.
pág. 12446
Estabilidad global
La estabilidad global del modelo se deriva de la forma de la función de producción y de la estructura
de la ecuación diferencial. La concavidad de 𝑓(𝑘) garantiza que la inversión disminuye a medida que
aumenta el capital, mientras que la depreciación efectiva crece linealmente. Esto asegura que:
1. Existe un único punto donde ambas curvas se cruzan.
2. La inversión es mayor que la depreciación para niveles bajos de capital.
3. La depreciación es mayor que la inversión para niveles altos.
Por tanto, el equilibrio es globalmente atractivo: independientemente del nivel inicial de capital, la
economía converge hacia 𝑘∗.
Comportamiento dinámico alrededor del equilibrio
El análisis cualitativo de la ecuación diferencial permite caracterizar el comportamiento de la economía:
Si 𝑘(0) < 𝑘∗, la economía experimenta crecimiento acelerado del capital por trabajador, impulsado por
una alta productividad marginal.
Si 𝑘(0) > 𝑘∗, la economía reduce su capital por trabajador debido a que la depreciación efectiva supera
la inversión.
Si 𝑘(0) = 𝑘∗, la economía permanece en equilibrio.
Este comportamiento es consistente con la intuición económica: las economías pobres tienden a crecer
más rápido que las ricas, un fenómeno conocido como convergencia condicional.
Representación gráfica del equilibrio.
El equilibrio puede visualizarse mediante dos curvas:
1. Curva de inversión: 𝑠𝑓(𝑘), creciente y cóncava.
2. Curva de depreciación: (𝛿 + 𝑛)𝑘 , una recta creciente.
El cruce de ambas determina el estado estacionario. La posición relativa de las curvas permite identificar
la dirección del movimiento del capital:
Por debajo del cruce, la inversión es mayor que la depreciación.
Por encima, ocurre lo contrario.
Estabilidad global
La estabilidad global del modelo se deriva de la forma de la función de producción y de la estructura
de la ecuación diferencial. La concavidad de 𝑓(𝑘) garantiza que la inversión disminuye a medida que
aumenta el capital, mientras que la depreciación efectiva crece linealmente. Esto asegura que:
1. Existe un único punto donde ambas curvas se cruzan.
2. La inversión es mayor que la depreciación para niveles bajos de capital.
3. La depreciación es mayor que la inversión para niveles altos.
Por tanto, el equilibrio es globalmente atractivo: independientemente del nivel inicial de capital, la
economía converge hacia 𝑘∗.
Comportamiento dinámico alrededor del equilibrio
El análisis cualitativo de la ecuación diferencial permite caracterizar el comportamiento de la economía:
Si 𝑘(0) < 𝑘∗, la economía experimenta crecimiento acelerado del capital por trabajador, impulsado por
una alta productividad marginal.
Si 𝑘(0) > 𝑘∗, la economía reduce su capital por trabajador debido a que la depreciación efectiva supera
la inversión.
Si 𝑘(0) = 𝑘∗, la economía permanece en equilibrio.
Este comportamiento es consistente con la intuición económica: las economías pobres tienden a crecer
más rápido que las ricas, un fenómeno conocido como convergencia condicional.
Representación gráfica del equilibrio.
El equilibrio puede visualizarse mediante dos curvas:
1. Curva de inversión: 𝑠𝑓(𝑘), creciente y cóncava.
2. Curva de depreciación: (𝛿 + 𝑛)𝑘 , una recta creciente.
El cruce de ambas determina el estado estacionario. La posición relativa de las curvas permite identificar
la dirección del movimiento del capital:
Por debajo del cruce, la inversión es mayor que la depreciación.
Por encima, ocurre lo contrario.
pág. 12447
Esta representación gráfica es fundamental para construir el diagrama de fase que se desarrolla en la
siguiente sección.
RESULTADOS
El análisis del modelo de Solow–Swan desde la perspectiva de las ecuaciones diferenciales permite
obtener un conjunto de resultados sólidos que describen con claridad la lógica interna del crecimiento
económico neoclásico. En primer lugar, se confirma la existencia de un único punto de equilibrio hacia
el cual converge la economía en el largo plazo. Este equilibrio no es un artefacto algebraico, sino la
consecuencia directa de la interacción entre la inversión y la depreciación efectiva del capital. La
inversión crece a un ritmo decreciente debido a la productividad marginal decreciente, mientras que la
depreciación aumenta proporcionalmente al capital. Esta estructura garantiza que ambas fuerzas se
crucen una sola vez, lo que asegura un estado estacionario único y bien definido.
Un segundo resultado relevante es la estabilidad global del equilibrio. La dinámica del modelo muestra
que, cuando el capital inicial es bajo, la economía experimenta un crecimiento acelerado impulsado por
una alta productividad marginal del capital. En cambio, cuando el capital inicial es elevado, la
depreciación efectiva supera la inversión y el capital tiende a disminuir. Esta relación inversa entre el
nivel de capital y la dirección del movimiento garantiza que todas las trayectorias converjan hacia el
mismo punto de largo plazo. Desde una perspectiva económica, este resultado implica que las
diferencias iniciales entre economías no determinan su destino final, siempre que compartan parámetros
estructurales similares.
Un tercer resultado es la naturaleza monótona de las trayectorias dinámicas. El modelo no genera
oscilaciones, ciclos ni comportamientos caóticos. Las economías que parten por debajo del equilibrio
avanzan de manera continua hacia él, mientras que las que parten por encima retroceden gradualmente.
Esta ausencia de fluctuaciones endógenas refleja la simplicidad del modelo, pero también su capacidad
para capturar procesos de ajuste ordenados y predecibles. En términos empíricos, este comportamiento
ha sido interpretado como evidencia de que las economías tienden a corregir desequilibrios de manera
progresiva, sin necesidad de mecanismos complejos.
Otro resultado importante es la velocidad de convergencia. El modelo predice que las economías se
acercan al estado estacionario a una tasa constante determinada por factores estructurales como el
Esta representación gráfica es fundamental para construir el diagrama de fase que se desarrolla en la
siguiente sección.
RESULTADOS
El análisis del modelo de Solow–Swan desde la perspectiva de las ecuaciones diferenciales permite
obtener un conjunto de resultados sólidos que describen con claridad la lógica interna del crecimiento
económico neoclásico. En primer lugar, se confirma la existencia de un único punto de equilibrio hacia
el cual converge la economía en el largo plazo. Este equilibrio no es un artefacto algebraico, sino la
consecuencia directa de la interacción entre la inversión y la depreciación efectiva del capital. La
inversión crece a un ritmo decreciente debido a la productividad marginal decreciente, mientras que la
depreciación aumenta proporcionalmente al capital. Esta estructura garantiza que ambas fuerzas se
crucen una sola vez, lo que asegura un estado estacionario único y bien definido.
Un segundo resultado relevante es la estabilidad global del equilibrio. La dinámica del modelo muestra
que, cuando el capital inicial es bajo, la economía experimenta un crecimiento acelerado impulsado por
una alta productividad marginal del capital. En cambio, cuando el capital inicial es elevado, la
depreciación efectiva supera la inversión y el capital tiende a disminuir. Esta relación inversa entre el
nivel de capital y la dirección del movimiento garantiza que todas las trayectorias converjan hacia el
mismo punto de largo plazo. Desde una perspectiva económica, este resultado implica que las
diferencias iniciales entre economías no determinan su destino final, siempre que compartan parámetros
estructurales similares.
Un tercer resultado es la naturaleza monótona de las trayectorias dinámicas. El modelo no genera
oscilaciones, ciclos ni comportamientos caóticos. Las economías que parten por debajo del equilibrio
avanzan de manera continua hacia él, mientras que las que parten por encima retroceden gradualmente.
Esta ausencia de fluctuaciones endógenas refleja la simplicidad del modelo, pero también su capacidad
para capturar procesos de ajuste ordenados y predecibles. En términos empíricos, este comportamiento
ha sido interpretado como evidencia de que las economías tienden a corregir desequilibrios de manera
progresiva, sin necesidad de mecanismos complejos.
Otro resultado importante es la velocidad de convergencia. El modelo predice que las economías se
acercan al estado estacionario a una tasa constante determinada por factores estructurales como el
pág. 12448
ahorro, la depreciación y el crecimiento poblacional. Este hallazgo ha sido fundamental para la literatura
empírica sobre convergencia, ya que permite contrastar la teoría con datos reales y evaluar si las
economías efectivamente se aproximan a sus niveles de largo plazo a la velocidad prevista.
Finalmente, los resultados del análisis dinámico permiten extraer implicaciones económicas
significativas. El modelo sugiere que la acumulación de capital es un motor de crecimiento en las
primeras etapas del desarrollo, pero que su efecto se atenúa con el tiempo debido a los rendimientos
decrecientes. También destaca que el crecimiento sostenido del ingreso per cápita no puede explicarse
únicamente por la acumulación de capital físico, sino que requiere progreso tecnológico. Esta
conclusión ha sido clave para el desarrollo de modelos más avanzados que incorporan innovación,
capital humano y otros factores endógenos.
En conjunto, los resultados muestran que el modelo de Solow–Swan ofrece una representación
coherente, estable y conceptualmente clara del proceso de crecimiento económico, y que su formulación
mediante ecuaciones diferenciales permite comprender con precisión la dinámica que conduce a la
economía hacia su equilibrio de largo p
DISCUSIÓN
El análisis dinámico del modelo de Solow–Swan desarrollado en las secciones anteriores permite
interpretar con mayor profundidad la lógica interna del modelo y su capacidad para explicar patrones
observados en el crecimiento económico. La estructura diferencial del modelo revela que su
comportamiento está determinado por la interacción entre fuerzas que impulsan la acumulación de
capital y fuerzas que la limitan. Esta interacción genera una dinámica estable y predecible, lo que
explica por qué el modelo ha sido tan influyente en la teoría macroeconómica.
Un primer elemento relevante es la robustez del estado estacionario. La existencia de un único equilibrio
positivo y su estabilidad global muestran que el modelo posee una estructura dinámica simple pero
poderosa: independientemente del nivel inicial de capital, la economía converge hacia un punto de largo
plazo determinado por parámetros estructurales como el ahorro, la depreciación y el crecimiento
poblacional. Esta característica ha sido fundamental para interpretar la convergencia entre economías,
especialmente en contextos donde los países comparten instituciones y tecnologías similares.
ahorro, la depreciación y el crecimiento poblacional. Este hallazgo ha sido fundamental para la literatura
empírica sobre convergencia, ya que permite contrastar la teoría con datos reales y evaluar si las
economías efectivamente se aproximan a sus niveles de largo plazo a la velocidad prevista.
Finalmente, los resultados del análisis dinámico permiten extraer implicaciones económicas
significativas. El modelo sugiere que la acumulación de capital es un motor de crecimiento en las
primeras etapas del desarrollo, pero que su efecto se atenúa con el tiempo debido a los rendimientos
decrecientes. También destaca que el crecimiento sostenido del ingreso per cápita no puede explicarse
únicamente por la acumulación de capital físico, sino que requiere progreso tecnológico. Esta
conclusión ha sido clave para el desarrollo de modelos más avanzados que incorporan innovación,
capital humano y otros factores endógenos.
En conjunto, los resultados muestran que el modelo de Solow–Swan ofrece una representación
coherente, estable y conceptualmente clara del proceso de crecimiento económico, y que su formulación
mediante ecuaciones diferenciales permite comprender con precisión la dinámica que conduce a la
economía hacia su equilibrio de largo p
DISCUSIÓN
El análisis dinámico del modelo de Solow–Swan desarrollado en las secciones anteriores permite
interpretar con mayor profundidad la lógica interna del modelo y su capacidad para explicar patrones
observados en el crecimiento económico. La estructura diferencial del modelo revela que su
comportamiento está determinado por la interacción entre fuerzas que impulsan la acumulación de
capital y fuerzas que la limitan. Esta interacción genera una dinámica estable y predecible, lo que
explica por qué el modelo ha sido tan influyente en la teoría macroeconómica.
Un primer elemento relevante es la robustez del estado estacionario. La existencia de un único equilibrio
positivo y su estabilidad global muestran que el modelo posee una estructura dinámica simple pero
poderosa: independientemente del nivel inicial de capital, la economía converge hacia un punto de largo
plazo determinado por parámetros estructurales como el ahorro, la depreciación y el crecimiento
poblacional. Esta característica ha sido fundamental para interpretar la convergencia entre economías,
especialmente en contextos donde los países comparten instituciones y tecnologías similares.
pág. 12449
Otro aspecto importante es la monotonía de las trayectorias dinámicas. La ausencia de oscilaciones o
ciclos en el modelo básico refleja la naturaleza determinista y estable del sistema. Desde una perspectiva
matemática, esto se explica por la forma de la ecuación diferencial autónoma y por la concavidad de la
función de producción. Desde una perspectiva económica, implica que los procesos de ajuste hacia el
equilibrio son graduales y predecibles, sin fluctuaciones endógenas. Esta característica ha sido criticada
por su simplicidad, pero también ha permitido que el modelo sirva como punto de partida para
extensiones más complejas.
La velocidad de convergencia constituye otro resultado relevante. La linealización alrededor del
equilibrio muestra que la convergencia es exponencial, lo que implica que las economías se acercan al
estado estacionario a una tasa constante determinada por la productividad marginal del capital y por los
parámetros estructurales. Este resultado ha sido ampliamente utilizado en estudios empíricos para
evaluar la convergencia entre países y regiones, y ha permitido contrastar la teoría con datos reales.
Finalmente, la discusión del modelo revela sus limitaciones estructurales. La ausencia de progreso
tecnológico endógeno, la falta de microfundamentos para el ahorro y la imposibilidad de generar ciclos
o dinámicas complejas son aspectos que han motivado el desarrollo de modelos más avanzados. Sin
embargo, estas limitaciones no disminuyen la importancia del modelo; por el contrario, subrayan su
papel como base conceptual y matemática para teorías posteriores.
En conjunto, el análisis dinámico del modelo de Solow–Swan confirma su relevancia como herramienta
para comprender el crecimiento económico y destaca la utilidad de las ecuaciones diferenciales como
instrumento para estudiar la evolución temporal de variables macroeconómicas.
CONCLUSIONES
El estudio de la dinámica del modelo de Solow–Swan mediante ecuaciones diferenciales permite
obtener una comprensión más profunda de su estructura y de su capacidad para explicar el crecimiento
económico de largo plazo. La formulación matemática del modelo revela que la evolución del capital
por trabajador está gobernada por una ecuación diferencial autónoma, no lineal y de primer orden, cuya
solución describe la trayectoria temporal de la economía.
Los resultados muestran que el modelo posee un estado estacionario único y globalmente estable,
determinado por la igualdad entre la inversión por trabajador y la depreciación efectiva.
Otro aspecto importante es la monotonía de las trayectorias dinámicas. La ausencia de oscilaciones o
ciclos en el modelo básico refleja la naturaleza determinista y estable del sistema. Desde una perspectiva
matemática, esto se explica por la forma de la ecuación diferencial autónoma y por la concavidad de la
función de producción. Desde una perspectiva económica, implica que los procesos de ajuste hacia el
equilibrio son graduales y predecibles, sin fluctuaciones endógenas. Esta característica ha sido criticada
por su simplicidad, pero también ha permitido que el modelo sirva como punto de partida para
extensiones más complejas.
La velocidad de convergencia constituye otro resultado relevante. La linealización alrededor del
equilibrio muestra que la convergencia es exponencial, lo que implica que las economías se acercan al
estado estacionario a una tasa constante determinada por la productividad marginal del capital y por los
parámetros estructurales. Este resultado ha sido ampliamente utilizado en estudios empíricos para
evaluar la convergencia entre países y regiones, y ha permitido contrastar la teoría con datos reales.
Finalmente, la discusión del modelo revela sus limitaciones estructurales. La ausencia de progreso
tecnológico endógeno, la falta de microfundamentos para el ahorro y la imposibilidad de generar ciclos
o dinámicas complejas son aspectos que han motivado el desarrollo de modelos más avanzados. Sin
embargo, estas limitaciones no disminuyen la importancia del modelo; por el contrario, subrayan su
papel como base conceptual y matemática para teorías posteriores.
En conjunto, el análisis dinámico del modelo de Solow–Swan confirma su relevancia como herramienta
para comprender el crecimiento económico y destaca la utilidad de las ecuaciones diferenciales como
instrumento para estudiar la evolución temporal de variables macroeconómicas.
CONCLUSIONES
El estudio de la dinámica del modelo de Solow–Swan mediante ecuaciones diferenciales permite
obtener una comprensión más profunda de su estructura y de su capacidad para explicar el crecimiento
económico de largo plazo. La formulación matemática del modelo revela que la evolución del capital
por trabajador está gobernada por una ecuación diferencial autónoma, no lineal y de primer orden, cuya
solución describe la trayectoria temporal de la economía.
Los resultados muestran que el modelo posee un estado estacionario único y globalmente estable,
determinado por la igualdad entre la inversión por trabajador y la depreciación efectiva.
pág. 12450
La estabilidad del equilibrio se deriva de la concavidad de la función de producción y de la estructura
lineal de la depreciación, lo que garantiza que la economía converge hacia el equilibrio desde cualquier
nivel inicial de capital. Este comportamiento explica fenómenos como la convergencia condicional y la
importancia del ahorro en las primeras etapas del desarrollo.
El análisis cualitativo de la ecuación diferencial revela que las trayectorias dinámicas del capital son
monótonas y no oscilatorias, lo que refleja la simplicidad y estabilidad del modelo básico. La velocidad
de convergencia, determinada por la derivada de la función dinámica en el equilibrio, muestra que el
ajuste hacia el estado estacionario es exponencial y depende de parámetros estructurales como el ahorro,
la depreciación y el crecimiento poblacional.
Desde una perspectiva económica, el modelo destaca que la acumulación de capital es un motor de
crecimiento en el corto y mediano plazo, pero que el crecimiento sostenido requiere progreso
tecnológico. Esta conclusión ha sido fundamental para el desarrollo de modelos de crecimiento
endógeno y para la interpretación empírica de las diferencias en ingreso entre países.
En síntesis, el análisis dinámico del modelo de Solow–Swan confirma su valor como herramienta
teórica y matemática para estudiar el crecimiento económico. Su estructura diferencial permite
comprender no solo el equilibrio de largo plazo, sino también las trayectorias que conducen hacia él.
Aunque el modelo presenta limitaciones, su simplicidad y claridad lo convierten en un punto de partida
indispensable para el estudio de sistemas dinámicos en economía.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Abou Ltaif, A. (2025). Profundizando el modelo de crecimiento económico de Solow-Swan: Análisis
del comportamiento del modelo por medio del desarrollo de sus ecuaciones diferenciales. Tesis
de licenciatura en Matemática, Universidad de Panamá.
Acemoglu, D. (2008). Introduction to modern economic growth. Massachusetts Institute of Technology.
Apostol, T. (2006). Análisis matemático. Editorial Reverté.
Barro, R. J., & Sala-i-Martin, X. (2003). Economic growth. MIT Press.
Calderón, D. (2020). Recursos naturales y crecimiento económico en América Latina (1980–2014)
(Tesis de licenciatura). Universidad de Lima.
La estabilidad del equilibrio se deriva de la concavidad de la función de producción y de la estructura
lineal de la depreciación, lo que garantiza que la economía converge hacia el equilibrio desde cualquier
nivel inicial de capital. Este comportamiento explica fenómenos como la convergencia condicional y la
importancia del ahorro en las primeras etapas del desarrollo.
El análisis cualitativo de la ecuación diferencial revela que las trayectorias dinámicas del capital son
monótonas y no oscilatorias, lo que refleja la simplicidad y estabilidad del modelo básico. La velocidad
de convergencia, determinada por la derivada de la función dinámica en el equilibrio, muestra que el
ajuste hacia el estado estacionario es exponencial y depende de parámetros estructurales como el ahorro,
la depreciación y el crecimiento poblacional.
Desde una perspectiva económica, el modelo destaca que la acumulación de capital es un motor de
crecimiento en el corto y mediano plazo, pero que el crecimiento sostenido requiere progreso
tecnológico. Esta conclusión ha sido fundamental para el desarrollo de modelos de crecimiento
endógeno y para la interpretación empírica de las diferencias en ingreso entre países.
En síntesis, el análisis dinámico del modelo de Solow–Swan confirma su valor como herramienta
teórica y matemática para estudiar el crecimiento económico. Su estructura diferencial permite
comprender no solo el equilibrio de largo plazo, sino también las trayectorias que conducen hacia él.
Aunque el modelo presenta limitaciones, su simplicidad y claridad lo convierten en un punto de partida
indispensable para el estudio de sistemas dinámicos en economía.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Abou Ltaif, A. (2025). Profundizando el modelo de crecimiento económico de Solow-Swan: Análisis
del comportamiento del modelo por medio del desarrollo de sus ecuaciones diferenciales. Tesis
de licenciatura en Matemática, Universidad de Panamá.
Acemoglu, D. (2008). Introduction to modern economic growth. Massachusetts Institute of Technology.
Apostol, T. (2006). Análisis matemático. Editorial Reverté.
Barro, R. J., & Sala-i-Martin, X. (2003). Economic growth. MIT Press.
Calderón, D. (2020). Recursos naturales y crecimiento económico en América Latina (1980–2014)
(Tesis de licenciatura). Universidad de Lima.
pág. 12451
Dantzig, G. (1998). Linear programming introduction. Journal of the Operational Research Society,
49(1), 1–10.
Destinobles, A. (2007). Introducción a los modelos de crecimiento económico exógeno y endógeno.
Eumed.net.
Elgar, E. (2023). The theory of economic growth. Edward Elgar Publishing.
Flores, J. (2019). Ecuaciones diferenciales homogéneas (Tesis de licenciatura). Universidad Nacional
Autónoma de México.
Fundación Banco Municipal. (2010). Crecimiento en tiempo discreto y continuo: Métodos para su
descomposición. Informes Metodológicos.
Gonzales, L. (2021). Diseño y metodología de la investigación. Enfoques Consulting EIRL.
Kenton, W. (2021). Classical growth theory. Investopedia.
https://www.investopedia.com/terms/c/classical-growththeory.asp
Larson, R., & Edwards, B. (2010). Cálculo de una variable. McGraw-Hill Interamericana.
Lay, D. (2007). Álgebra lineal y sus aplicaciones. Pearson Educación.
Ljungqvist, L., & Sargent, T. (2000). Recursive macroeconomic theory. MIT Press.
Dantzig, G. (1998). Linear programming introduction. Journal of the Operational Research Society,
49(1), 1–10.
Destinobles, A. (2007). Introducción a los modelos de crecimiento económico exógeno y endógeno.
Eumed.net.
Elgar, E. (2023). The theory of economic growth. Edward Elgar Publishing.
Flores, J. (2019). Ecuaciones diferenciales homogéneas (Tesis de licenciatura). Universidad Nacional
Autónoma de México.
Fundación Banco Municipal. (2010). Crecimiento en tiempo discreto y continuo: Métodos para su
descomposición. Informes Metodológicos.
Gonzales, L. (2021). Diseño y metodología de la investigación. Enfoques Consulting EIRL.
Kenton, W. (2021). Classical growth theory. Investopedia.
https://www.investopedia.com/terms/c/classical-growththeory.asp
Larson, R., & Edwards, B. (2010). Cálculo de una variable. McGraw-Hill Interamericana.
Lay, D. (2007). Álgebra lineal y sus aplicaciones. Pearson Educación.
Ljungqvist, L., & Sargent, T. (2000). Recursive macroeconomic theory. MIT Press.