ANÁLISIS DE PUENTE PEATONAL MEDIANTE
ESCANEO 3D Y MODELO LAPLACIANO
ANALYSIS OF A PEDESTRIAN BRIDGE USING 3D
SCANNING AND A LAPLACIAN MODEL
Kevin Eduardo Solís Tolentino
UAEH, Estados Unidos Mexicanos
Eber Pérez Isidro
UAEH, Estados Unidos Mexicanos
Jesús Emmanuel Cerón Carballo
UAEH, Estados Unidos Mexicanos
Cutberto Rodríguez Álvarez
UAEH, Estados Unidos Mexicanos
pág. 5280
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v10i2.23560
Análisis de Puente Peatonal Mediante Escaneo 3D y Modelo Laplaciano
Kevin Eduardo Solís Tolentino 1
so435784@uaeh.edu.mx
https://orcid.org/0009-0008-7130-0373
Ingeniería Civil, UAEH
Estados Unidos Mexicanos
Eber Pérez Isidro
eber_perez@uaeh.edu.mx
https://orcid.org/0000-0002-8500-710X
Cuerpo Académico Ingeniería Civil Forense
UAEH
Estados Unidos Mexicanos
Jesús Emmanuel Cerón Carballo
jesus_ceronc@uaeh.edu.mx
https://orcid.org/0000-0003-2809-3387
Cuerpo Académico Ingeniería Civil Forense
UAEH
Estados Unidos Mexicanos
Cutberto Rodríguez Álvarez
profe_7479@uaeh.edu.mx
https://orcid.org/0000-0002-9225-8695
Cuerpo Académico Ingeniería Civil Forense
UAEH
Estados Unidos Mexicanos
RESUMEN
El modelo gaussiano-laplaciano aplicado permitió analizar la variación geométrica de un puente
peatonal mediante la integración de seis variables: curvatura global, irregularidad media, rigidez
geométrica, distorsión localizada, rugosidad y microdefectos. Su modelado como fuente de deformación
define la respuesta geométrica de la estructura. A partir de un levantamiento con 28 escaneos se obtuvo
una nube de puntos con espaciamiento promedio de 1.1 mm y una densidad aproximada de 800,000
puntos por metro cuadrado. Los indicadores de calidad del registro mostraron un error medio de 1.21
mm, un error RMS de 3.24 mm, lo que valida la confiabilidad del modelo as-built. El análisis mediante
el operador Laplaciano permitió identificar zonas de variación geométrica, destacando un
comportamiento crítico en la región central (𝑥 ≈ 0.6), asociado principalmente a la variable de
distorsión localizada. Se observaron contribuciones menores en 𝑥 ≈ 0.2 y 𝑥 ≈ 0.85, relacionadas con
irregularidad media y microdefectos. La correlación entre las variables del modelo, los valores
numéricos obtenidos y las representaciones gráficas confirma que la deformación global es el resultado
de la interacción de múltiples efectos locales. En conjunto, el modelo demuestra ser una herramienta
eficaz para la caracterización cuantitativa de la geometría, permitiendo identificar, ubicar y analizar
defectos con base en datos reales y fundamentos matemáticos sólidos.
Palabras clave: escáner; nube de puntos; laplaciano; geometría; mapeo; puente peatonal
1 Autor principal.
Correspondencia: eber_perez@uaeh.edu.mx
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v10i2.23560
Análisis de Puente Peatonal Mediante Escaneo 3D y Modelo Laplaciano
Kevin Eduardo Solís Tolentino 1
so435784@uaeh.edu.mx
https://orcid.org/0009-0008-7130-0373
Ingeniería Civil, UAEH
Estados Unidos Mexicanos
Eber Pérez Isidro
eber_perez@uaeh.edu.mx
https://orcid.org/0000-0002-8500-710X
Cuerpo Académico Ingeniería Civil Forense
UAEH
Estados Unidos Mexicanos
Jesús Emmanuel Cerón Carballo
jesus_ceronc@uaeh.edu.mx
https://orcid.org/0000-0003-2809-3387
Cuerpo Académico Ingeniería Civil Forense
UAEH
Estados Unidos Mexicanos
Cutberto Rodríguez Álvarez
profe_7479@uaeh.edu.mx
https://orcid.org/0000-0002-9225-8695
Cuerpo Académico Ingeniería Civil Forense
UAEH
Estados Unidos Mexicanos
RESUMEN
El modelo gaussiano-laplaciano aplicado permitió analizar la variación geométrica de un puente
peatonal mediante la integración de seis variables: curvatura global, irregularidad media, rigidez
geométrica, distorsión localizada, rugosidad y microdefectos. Su modelado como fuente de deformación
define la respuesta geométrica de la estructura. A partir de un levantamiento con 28 escaneos se obtuvo
una nube de puntos con espaciamiento promedio de 1.1 mm y una densidad aproximada de 800,000
puntos por metro cuadrado. Los indicadores de calidad del registro mostraron un error medio de 1.21
mm, un error RMS de 3.24 mm, lo que valida la confiabilidad del modelo as-built. El análisis mediante
el operador Laplaciano permitió identificar zonas de variación geométrica, destacando un
comportamiento crítico en la región central (𝑥 ≈ 0.6), asociado principalmente a la variable de
distorsión localizada. Se observaron contribuciones menores en 𝑥 ≈ 0.2 y 𝑥 ≈ 0.85, relacionadas con
irregularidad media y microdefectos. La correlación entre las variables del modelo, los valores
numéricos obtenidos y las representaciones gráficas confirma que la deformación global es el resultado
de la interacción de múltiples efectos locales. En conjunto, el modelo demuestra ser una herramienta
eficaz para la caracterización cuantitativa de la geometría, permitiendo identificar, ubicar y analizar
defectos con base en datos reales y fundamentos matemáticos sólidos.
Palabras clave: escáner; nube de puntos; laplaciano; geometría; mapeo; puente peatonal
1 Autor principal.
Correspondencia: eber_perez@uaeh.edu.mx
pág. 5281
Analysis of a Pedestrian Bridge Using 3D Scanning and a Laplacian Model
ABSTRACT
The applied Gaussian-Laplacian model allowed for the analysis of the geometric variation of a
pedestrian bridge through the integration of six variables: global curvature, mean irregularity, geometric
stiffness, localized distortion, roughness, and microdefects. Modeling these variables as a source of
deformation defines the geometric response of the structure. A point cloud with an average spacing of
1.1 mm and an approximate density of 800,000 points per square meter was obtained from a survey
consisting of 28 scans. The data quality indicators showed a mean error of 1.21 mm and an RMS error
of 3.24 mm, validating the reliability of the as-built model. Analysis using the Laplacian operator
identified areas of geometric variation, highlighting critical behavior in the central region (x ≤ 0.6),
primarily associated with the localized distortion variable. Minor contributions were observed at x ≤ 0.2
and x ≤ 0.85, related to mean irregularity and microdefects. The correlation between the model variables,
the numerical values obtained, and the graphical representations confirms that the global deformation is
the result of the interaction of multiple local effects. Overall, the model proves to be an effective tool
for the quantitative characterization of geometry, allowing for the identification, location, and analysis
of defects based on real data and sound mathematical principles.
Keywords: scanner; point cloud; laplacian; geometry; mapping; pedestrian bridge
Artículo recibido 20 marzo 2026
Aceptado para publicación: 15 abril 2026
Analysis of a Pedestrian Bridge Using 3D Scanning and a Laplacian Model
ABSTRACT
The applied Gaussian-Laplacian model allowed for the analysis of the geometric variation of a
pedestrian bridge through the integration of six variables: global curvature, mean irregularity, geometric
stiffness, localized distortion, roughness, and microdefects. Modeling these variables as a source of
deformation defines the geometric response of the structure. A point cloud with an average spacing of
1.1 mm and an approximate density of 800,000 points per square meter was obtained from a survey
consisting of 28 scans. The data quality indicators showed a mean error of 1.21 mm and an RMS error
of 3.24 mm, validating the reliability of the as-built model. Analysis using the Laplacian operator
identified areas of geometric variation, highlighting critical behavior in the central region (x ≤ 0.6),
primarily associated with the localized distortion variable. Minor contributions were observed at x ≤ 0.2
and x ≤ 0.85, related to mean irregularity and microdefects. The correlation between the model variables,
the numerical values obtained, and the graphical representations confirms that the global deformation is
the result of the interaction of multiple local effects. Overall, the model proves to be an effective tool
for the quantitative characterization of geometry, allowing for the identification, location, and analysis
of defects based on real data and sound mathematical principles.
Keywords: scanner; point cloud; laplacian; geometry; mapping; pedestrian bridge
Artículo recibido 20 marzo 2026
Aceptado para publicación: 15 abril 2026
pág. 5282
INTRODUCCIÓN
La evaluación geométrica de infraestructuras mediante tecnologías de captura tridimensional ha cobrado
gran relevancia en el ámbito de la ingeniería civil, particularmente en el análisis de estructuras existentes
bajo condiciones reales de operación. En este contexto, el uso de escáner láser 3D permite obtener nubes
de puntos de alta densidad y precisión, capaces de representar con fidelidad la geometría as-built de
elementos como puentes peatonales, facilitando su documentación, análisis y monitoreo.
A diferencia de los métodos tradicionales de levantamiento, las técnicas basadas en escaneo láser
proporcionan una descripción continua de la superficie, lo que posibilita la aplicación de herramientas
matemáticas avanzadas para el estudio de la variación geométrica. Entre estas herramientas, el operador
Laplaciano destaca por su capacidad para identificar cambios locales en la forma, permitiendo detectar
irregularidades, discontinuidades y posibles anomalías geométricas en modelos tridimensionales.
En este trabajo se propone un enfoque basado en un modelo gaussiano-laplaciano, en el cual las
deformaciones geométricas del puente se representan como la superposición de múltiples fuentes
localizadas. Cada una de estas fuentes modela distintos tipos de defectos, tales como curvatura global,
irregularidad media, distorsión localizada y micro defectos, integrándose en una formulación tipo
ecuación de Poisson que describe la distribución espacial de la deformación.
El objetivo principal de la investigación es generar un modelo tridimensional preciso del puente peatonal
mediante escáner láser 3D y aplicar un análisis laplaciano que permita interpretar la variación
geométrica de la estructura. De esta manera, se busca contribuir al desarrollo de metodologías
cuantitativas para la evaluación geométrica avanzada de infraestructuras existentes, (Cerón, 2026b).
MARCO CONCEPTUAL
El presente estudio se fundamenta en la integración de conceptos provenientes de la topografía, la
geometría diferencial y el procesamiento de datos tridimensionales, con el objetivo de analizar la
variación geométrica de estructuras mediante modelos matemáticos avanzados. En primer lugar, la nube
de puntos constituye la representación básica obtenida mediante escáner láser 3D. Esta se define como
un conjunto masivo de puntos en el espacio tridimensional, cada uno con coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧), que
describen la superficie de un objeto con alta densidad y precisión.
INTRODUCCIÓN
La evaluación geométrica de infraestructuras mediante tecnologías de captura tridimensional ha cobrado
gran relevancia en el ámbito de la ingeniería civil, particularmente en el análisis de estructuras existentes
bajo condiciones reales de operación. En este contexto, el uso de escáner láser 3D permite obtener nubes
de puntos de alta densidad y precisión, capaces de representar con fidelidad la geometría as-built de
elementos como puentes peatonales, facilitando su documentación, análisis y monitoreo.
A diferencia de los métodos tradicionales de levantamiento, las técnicas basadas en escaneo láser
proporcionan una descripción continua de la superficie, lo que posibilita la aplicación de herramientas
matemáticas avanzadas para el estudio de la variación geométrica. Entre estas herramientas, el operador
Laplaciano destaca por su capacidad para identificar cambios locales en la forma, permitiendo detectar
irregularidades, discontinuidades y posibles anomalías geométricas en modelos tridimensionales.
En este trabajo se propone un enfoque basado en un modelo gaussiano-laplaciano, en el cual las
deformaciones geométricas del puente se representan como la superposición de múltiples fuentes
localizadas. Cada una de estas fuentes modela distintos tipos de defectos, tales como curvatura global,
irregularidad media, distorsión localizada y micro defectos, integrándose en una formulación tipo
ecuación de Poisson que describe la distribución espacial de la deformación.
El objetivo principal de la investigación es generar un modelo tridimensional preciso del puente peatonal
mediante escáner láser 3D y aplicar un análisis laplaciano que permita interpretar la variación
geométrica de la estructura. De esta manera, se busca contribuir al desarrollo de metodologías
cuantitativas para la evaluación geométrica avanzada de infraestructuras existentes, (Cerón, 2026b).
MARCO CONCEPTUAL
El presente estudio se fundamenta en la integración de conceptos provenientes de la topografía, la
geometría diferencial y el procesamiento de datos tridimensionales, con el objetivo de analizar la
variación geométrica de estructuras mediante modelos matemáticos avanzados. En primer lugar, la nube
de puntos constituye la representación básica obtenida mediante escáner láser 3D. Esta se define como
un conjunto masivo de puntos en el espacio tridimensional, cada uno con coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧), que
describen la superficie de un objeto con alta densidad y precisión.
pág. 5283
A partir de esta información, es posible reconstruir modelos tridimensionales conocidos como modelos
as-built, los cuales representan fielmente el estado real de la estructura. Para el análisis geométrico, se
emplea el concepto de malla triangulada, que consiste en discretizar la superficie en elementos finitos
(triángulos), permitiendo aplicar operadores matemáticos sobre una estructura computacional
manejable. En este contexto, el operador Laplaciano discreto se utiliza como herramienta fundamental
para evaluar la variación local de la geometría. El Laplaciano es un operador diferencial que mide la
diferencia entre un punto y el promedio de sus vecinos, lo que permite identificar cambios locales en la
forma. En geometría de superficies, este operador está relacionado con la curvatura media, siendo un
indicador clave de irregularidades, deformaciones o discontinuidades geométricas.
Asimismo, se introduce el concepto de modelo gaussiano de defectos, en el cual las anomalías
geométricas se representan mediante funciones gaussianas localizadas. Cada función describe la
intensidad, ubicación y extensión de un defecto específico, permitiendo modelar fenómenos reales sin
asumir periodicidad. La combinación de estos conceptos da lugar a un enfoque basado en la ecuación
de Poisson, donde el Laplaciano de la geometría está asociado a fuentes de deformación. Este marco
conceptual permite interpretar la geometría del puente no solo como una forma estática, sino como un
sistema influenciado por variaciones locales que pueden ser cuantificadas y analizadas, (Cerón, 2026b).
MARCO TEÓRICO
El análisis geométrico de estructuras mediante datos tridimensionales se apoya en fundamentos de la
geometría diferencial y en métodos numéricos aplicados a superficies discretas. En este contexto, la
representación de una estructura mediante una nube de puntos obtenida por escáner láser 3D permite
aproximar su geometría real con alta resolución, lo cual constituye la base para la generación de modelos
tridimensionales as-built. Para el tratamiento matemático de estas superficies, es necesario discretizar la
geometría mediante una malla triangulada, definida como un conjunto de vértices 𝑉y caras 𝐹, sobre la
cual se pueden aplicar operadores diferenciales discretos. Uno de los más relevantes es el operador
Laplaciano de Laplace–Beltrami, que en el caso continuo se define como se presenta en la Ecuación 1:
Δ𝑆𝑥 = div𝑆(∇𝑆𝑥) ; (Δ𝑥)𝑖 = 1
2𝐴𝑖
∑ (
𝑗∈𝑁(𝑖)
cot 𝛼𝑖𝑗 + cot 𝛽𝑖𝑗)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)
Δ𝑆𝑥 ≈ 2𝐻𝑛
( 1 )
A partir de esta información, es posible reconstruir modelos tridimensionales conocidos como modelos
as-built, los cuales representan fielmente el estado real de la estructura. Para el análisis geométrico, se
emplea el concepto de malla triangulada, que consiste en discretizar la superficie en elementos finitos
(triángulos), permitiendo aplicar operadores matemáticos sobre una estructura computacional
manejable. En este contexto, el operador Laplaciano discreto se utiliza como herramienta fundamental
para evaluar la variación local de la geometría. El Laplaciano es un operador diferencial que mide la
diferencia entre un punto y el promedio de sus vecinos, lo que permite identificar cambios locales en la
forma. En geometría de superficies, este operador está relacionado con la curvatura media, siendo un
indicador clave de irregularidades, deformaciones o discontinuidades geométricas.
Asimismo, se introduce el concepto de modelo gaussiano de defectos, en el cual las anomalías
geométricas se representan mediante funciones gaussianas localizadas. Cada función describe la
intensidad, ubicación y extensión de un defecto específico, permitiendo modelar fenómenos reales sin
asumir periodicidad. La combinación de estos conceptos da lugar a un enfoque basado en la ecuación
de Poisson, donde el Laplaciano de la geometría está asociado a fuentes de deformación. Este marco
conceptual permite interpretar la geometría del puente no solo como una forma estática, sino como un
sistema influenciado por variaciones locales que pueden ser cuantificadas y analizadas, (Cerón, 2026b).
MARCO TEÓRICO
El análisis geométrico de estructuras mediante datos tridimensionales se apoya en fundamentos de la
geometría diferencial y en métodos numéricos aplicados a superficies discretas. En este contexto, la
representación de una estructura mediante una nube de puntos obtenida por escáner láser 3D permite
aproximar su geometría real con alta resolución, lo cual constituye la base para la generación de modelos
tridimensionales as-built. Para el tratamiento matemático de estas superficies, es necesario discretizar la
geometría mediante una malla triangulada, definida como un conjunto de vértices 𝑉y caras 𝐹, sobre la
cual se pueden aplicar operadores diferenciales discretos. Uno de los más relevantes es el operador
Laplaciano de Laplace–Beltrami, que en el caso continuo se define como se presenta en la Ecuación 1:
Δ𝑆𝑥 = div𝑆(∇𝑆𝑥) ; (Δ𝑥)𝑖 = 1
2𝐴𝑖
∑ (
𝑗∈𝑁(𝑖)
cot 𝛼𝑖𝑗 + cot 𝛽𝑖𝑗)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)
Δ𝑆𝑥 ≈ 2𝐻𝑛
( 1 )
pág. 5284
𝐿𝑖(𝑥) = 𝐴𝑖exp (−− (𝑥−𝜇𝑖)2
2𝜎𝑖2 ) ; 𝐷(𝑥) = ∑ 𝐿𝑖
6
𝑖=1
(𝑥) ; Δ𝑢 = 𝑓(𝑥) ( 2 )
donde Δ𝑆representa el Laplaciano sobre la superficie 𝑆, ∇𝑆es el gradiente superficial y div𝑆 es la
divergencia. Este operador permite medir la variación local de una función definida sobre la superficie,
siendo particularmente útil para analizar la forma geométrica. En superficies discretas, el Laplaciano se
aproxima mediante formulaciones numéricas. Una de las más utilizadas es el Laplaciano cotangente,
donde 𝐴𝑖es el área asociada al vértice 𝑖, 𝑁(𝑖)es el conjunto de vecinos, y 𝛼𝑖𝑗, 𝛽𝑖𝑗son los ángulos opuestos
a la arista que conecta los vértices 𝑖 y 𝑗. Esta formulación proporciona una mejor aproximación del
operador continuo y permite estimar propiedades geométricas como la curvatura media, la cual está
relacionada con el Laplaciano donde 𝐻es la curvatura media y 𝑛 el vector normal a la superficie. Por
otro lado, para modelar las irregularidades geométricas de una estructura real, se introduce un enfoque
basado en funciones gaussianas localizadas. Cada defecto geométrico puede representarse como se
observa en la Ecuación 2, donde 𝐴𝑖es la intensidad del defecto, 𝜇𝑖su ubicación y 𝜎𝑖su extensión espacial.
La superposición de estas funciones permite describir la deformación total de la estructura, Este modelo
se integra en una formulación tipo ecuación de Poisson, expresada como se muestra en la ecuación 2,
donde 𝑓(𝑥) representa las fuentes de deformación geométrica. En este contexto, el operador Laplaciano
actúa como un mecanismo de difusión que distribuye las variaciones locales sobre la geometría global.
Se permite vincular los datos obtenidos mediante escaneo láser 3D con herramientas matemáticas
avanzadas, proporcionando una base sólida para el análisis cuantitativo de la variación geométrica en
estructuras reales. La combinación de modelos discretos y formulaciones diferenciales abre la
posibilidad de identificar zonas críticas, evaluar irregularidades y mejorar la interpretación del
comportamiento geométrico en modelos tridimensionales, (Cerón, 2024b).
MARCO REFERENCIAL
El análisis geométrico de superficies mediante herramientas matemáticas y datos tridimensionales ha
sido ampliamente estudiado en diversas áreas como la ingeniería civil, la geometría computacional y el
procesamiento de modelos 3D. En este contexto, el uso de operadores diferenciales discretos ha
permitido trasladar conceptos de la geometría continua al análisis de superficies representadas por
𝐿𝑖(𝑥) = 𝐴𝑖exp (−− (𝑥−𝜇𝑖)2
2𝜎𝑖2 ) ; 𝐷(𝑥) = ∑ 𝐿𝑖
6
𝑖=1
(𝑥) ; Δ𝑢 = 𝑓(𝑥) ( 2 )
donde Δ𝑆representa el Laplaciano sobre la superficie 𝑆, ∇𝑆es el gradiente superficial y div𝑆 es la
divergencia. Este operador permite medir la variación local de una función definida sobre la superficie,
siendo particularmente útil para analizar la forma geométrica. En superficies discretas, el Laplaciano se
aproxima mediante formulaciones numéricas. Una de las más utilizadas es el Laplaciano cotangente,
donde 𝐴𝑖es el área asociada al vértice 𝑖, 𝑁(𝑖)es el conjunto de vecinos, y 𝛼𝑖𝑗, 𝛽𝑖𝑗son los ángulos opuestos
a la arista que conecta los vértices 𝑖 y 𝑗. Esta formulación proporciona una mejor aproximación del
operador continuo y permite estimar propiedades geométricas como la curvatura media, la cual está
relacionada con el Laplaciano donde 𝐻es la curvatura media y 𝑛 el vector normal a la superficie. Por
otro lado, para modelar las irregularidades geométricas de una estructura real, se introduce un enfoque
basado en funciones gaussianas localizadas. Cada defecto geométrico puede representarse como se
observa en la Ecuación 2, donde 𝐴𝑖es la intensidad del defecto, 𝜇𝑖su ubicación y 𝜎𝑖su extensión espacial.
La superposición de estas funciones permite describir la deformación total de la estructura, Este modelo
se integra en una formulación tipo ecuación de Poisson, expresada como se muestra en la ecuación 2,
donde 𝑓(𝑥) representa las fuentes de deformación geométrica. En este contexto, el operador Laplaciano
actúa como un mecanismo de difusión que distribuye las variaciones locales sobre la geometría global.
Se permite vincular los datos obtenidos mediante escaneo láser 3D con herramientas matemáticas
avanzadas, proporcionando una base sólida para el análisis cuantitativo de la variación geométrica en
estructuras reales. La combinación de modelos discretos y formulaciones diferenciales abre la
posibilidad de identificar zonas críticas, evaluar irregularidades y mejorar la interpretación del
comportamiento geométrico en modelos tridimensionales, (Cerón, 2024b).
MARCO REFERENCIAL
El análisis geométrico de superficies mediante herramientas matemáticas y datos tridimensionales ha
sido ampliamente estudiado en diversas áreas como la ingeniería civil, la geometría computacional y el
procesamiento de modelos 3D. En este contexto, el uso de operadores diferenciales discretos ha
permitido trasladar conceptos de la geometría continua al análisis de superficies representadas por
pág. 5285
mallas trianguladas. Uno de los trabajos fundamentales en este campo es el desarrollado por Meyer et
al. (2003), quienes proponen operadores de geometría diferencial discretos para superficies trianguladas,
estableciendo una base sólida para el cálculo de curvatura y el uso del operador Laplaciano en modelos
discretos.
Este enfoque permite analizar propiedades geométricas locales a partir de datos digitales, siendo
ampliamente utilizado en aplicaciones de modelado y análisis de superficies. Por otra parte, Desbrun et
al. (1999) introducen un método basado en flujo de curvatura y difusión para el suavizado de superficies
irregulares, utilizando el operador Laplaciano como herramienta principal para reducir ruido y preservar
características geométricas relevantes. Este trabajo es clave en el procesamiento de nubes de puntos y
mallas, ya que demuestra cómo el Laplaciano puede emplearse para mejorar la calidad geométrica de
modelos tridimensionales. Asimismo, Xu (2004) aborda la convergencia de los operadores Laplace–
Beltrami discretos, proporcionando un marco teórico riguroso que valida su uso en aproximaciones
numéricas de superficies reales. Este estudio respalda la aplicación del Laplaciano en análisis
geométricos avanzados, garantizando que los resultados obtenidos en modelos discretos sean
consistentes con la teoría continua. En conjunto, estos trabajos constituyen la base teórica que sustenta
el uso del operador Laplaciano en el análisis de geometría tridimensional, permitiendo su aplicación en
modelos derivados de escaneo láser 3D para la detección y evaluación de irregularidades en estructuras
reales, (Cerón, 2026a).
Objetivo General
Desarrollar una metodología integral para la evaluación geométrica de un puente peatonal mediante el
uso de escáner láser 3D y herramientas de análisis matemático basadas en el operador Laplaciano, con
el propósito de generar un modelo tridimensional as-built de alta precisión que permita identificar,
cuantificar e interpretar las variaciones geométricas presentes en la estructura. La metodología propuesta
contempla la adquisición de datos mediante escaneo láser terrestre, la generación y procesamiento de
una nube de puntos, así como su posterior transformación en una representación geométrica discretizada
apta para la aplicación de operadores diferenciales.
A partir de este modelo, se busca implementar un enfoque basado en funciones gaussianas para la
modelación de defectos geométricos localizados, integrando dichas funciones en una formulación tipo
mallas trianguladas. Uno de los trabajos fundamentales en este campo es el desarrollado por Meyer et
al. (2003), quienes proponen operadores de geometría diferencial discretos para superficies trianguladas,
estableciendo una base sólida para el cálculo de curvatura y el uso del operador Laplaciano en modelos
discretos.
Este enfoque permite analizar propiedades geométricas locales a partir de datos digitales, siendo
ampliamente utilizado en aplicaciones de modelado y análisis de superficies. Por otra parte, Desbrun et
al. (1999) introducen un método basado en flujo de curvatura y difusión para el suavizado de superficies
irregulares, utilizando el operador Laplaciano como herramienta principal para reducir ruido y preservar
características geométricas relevantes. Este trabajo es clave en el procesamiento de nubes de puntos y
mallas, ya que demuestra cómo el Laplaciano puede emplearse para mejorar la calidad geométrica de
modelos tridimensionales. Asimismo, Xu (2004) aborda la convergencia de los operadores Laplace–
Beltrami discretos, proporcionando un marco teórico riguroso que valida su uso en aproximaciones
numéricas de superficies reales. Este estudio respalda la aplicación del Laplaciano en análisis
geométricos avanzados, garantizando que los resultados obtenidos en modelos discretos sean
consistentes con la teoría continua. En conjunto, estos trabajos constituyen la base teórica que sustenta
el uso del operador Laplaciano en el análisis de geometría tridimensional, permitiendo su aplicación en
modelos derivados de escaneo láser 3D para la detección y evaluación de irregularidades en estructuras
reales, (Cerón, 2026a).
Objetivo General
Desarrollar una metodología integral para la evaluación geométrica de un puente peatonal mediante el
uso de escáner láser 3D y herramientas de análisis matemático basadas en el operador Laplaciano, con
el propósito de generar un modelo tridimensional as-built de alta precisión que permita identificar,
cuantificar e interpretar las variaciones geométricas presentes en la estructura. La metodología propuesta
contempla la adquisición de datos mediante escaneo láser terrestre, la generación y procesamiento de
una nube de puntos, así como su posterior transformación en una representación geométrica discretizada
apta para la aplicación de operadores diferenciales.
A partir de este modelo, se busca implementar un enfoque basado en funciones gaussianas para la
modelación de defectos geométricos localizados, integrando dichas funciones en una formulación tipo
pág. 5286
ecuación de Poisson que permita analizar la distribución espacial de las deformaciones. Asimismo, el
objetivo incluye la obtención de indicadores cuantitativos que describan la calidad geométrica del
modelo, tales como métricas de registro, densidad de puntos y variación local de la superficie, así como
la generación de representaciones gráficas, como mapas de curvatura y análisis del comportamiento del
Laplaciano, que faciliten la interpretación de los resultados. De esta manera, se pretende contribuir al
desarrollo de metodologías avanzadas para el análisis geométrico de infraestructuras existentes,
integrando tecnologías de captura tridimensional con herramientas matemáticas que permitan una
evaluación más precisa, objetiva y detallada del estado geométrico de las estructuras en condiciones
reales, (Cerón, 2025).
JUSTIFICACIÓN
La metodología empleada en este estudio se justifica por la necesidad de contar con herramientas
precisas, eficientes y objetivas para la evaluación geométrica de estructuras en condiciones reales. El
uso del escáner láser 3D permite obtener una representación detallada y de alta resolución de la
geometría del puente peatonal, superando las limitaciones de los métodos tradicionales de
levantamiento, los cuales suelen ser menos densos y más susceptibles a errores de medición. La
integración de esta tecnología con técnicas de procesamiento digital de nubes de puntos posibilita la
generación de modelos tridimensionales as-built que reflejan con fidelidad el estado actual de la
estructura. Sin embargo, la verdadera fortaleza de la metodología radica en la incorporación de
herramientas matemáticas avanzadas, como el operador Laplaciano y los modelos gaussianos de
defectos, que permiten analizar la variación geométrica desde un enfoque cuantitativo. Este enfoque no
solo facilita la identificación de irregularidades locales, sino que también permite interpretar su
distribución espacial y su influencia en el comportamiento geométrico global de la estructura. De esta
manera, la metodología propuesta ofrece una alternativa integral que combina captura de datos,
modelado digital y análisis matemático, proporcionando resultados confiables que pueden ser utilizados
para la toma de decisiones técnicas, la generación de documentación y la evaluación estructural, (Cerón,
2024a).
ecuación de Poisson que permita analizar la distribución espacial de las deformaciones. Asimismo, el
objetivo incluye la obtención de indicadores cuantitativos que describan la calidad geométrica del
modelo, tales como métricas de registro, densidad de puntos y variación local de la superficie, así como
la generación de representaciones gráficas, como mapas de curvatura y análisis del comportamiento del
Laplaciano, que faciliten la interpretación de los resultados. De esta manera, se pretende contribuir al
desarrollo de metodologías avanzadas para el análisis geométrico de infraestructuras existentes,
integrando tecnologías de captura tridimensional con herramientas matemáticas que permitan una
evaluación más precisa, objetiva y detallada del estado geométrico de las estructuras en condiciones
reales, (Cerón, 2025).
JUSTIFICACIÓN
La metodología empleada en este estudio se justifica por la necesidad de contar con herramientas
precisas, eficientes y objetivas para la evaluación geométrica de estructuras en condiciones reales. El
uso del escáner láser 3D permite obtener una representación detallada y de alta resolución de la
geometría del puente peatonal, superando las limitaciones de los métodos tradicionales de
levantamiento, los cuales suelen ser menos densos y más susceptibles a errores de medición. La
integración de esta tecnología con técnicas de procesamiento digital de nubes de puntos posibilita la
generación de modelos tridimensionales as-built que reflejan con fidelidad el estado actual de la
estructura. Sin embargo, la verdadera fortaleza de la metodología radica en la incorporación de
herramientas matemáticas avanzadas, como el operador Laplaciano y los modelos gaussianos de
defectos, que permiten analizar la variación geométrica desde un enfoque cuantitativo. Este enfoque no
solo facilita la identificación de irregularidades locales, sino que también permite interpretar su
distribución espacial y su influencia en el comportamiento geométrico global de la estructura. De esta
manera, la metodología propuesta ofrece una alternativa integral que combina captura de datos,
modelado digital y análisis matemático, proporcionando resultados confiables que pueden ser utilizados
para la toma de decisiones técnicas, la generación de documentación y la evaluación estructural, (Cerón,
2024a).
pág. 5287
Hipótesis
La aplicación de una metodología integrada basada en el uso de escáner láser 3D y el análisis matemático
mediante el operador Laplaciano permite identificar, cuantificar y localizar con mayor precisión las
variaciones geométricas presentes en un puente peatonal, en comparación con métodos tradicionales de
levantamiento y evaluación geométrica. Se plantea que, al generar un modelo tridimensional as-built de
alta densidad a partir de una nube de puntos, es posible representar de manera fiel la geometría real de
la estructura. A su vez, mediante la discretización de la superficie y la aplicación de operadores
diferenciales, particularmente el Laplaciano, se pueden detectar cambios locales en la forma que no son
evidentes mediante inspecciones convencionales.
Asimismo, la incorporación de un modelo basado en funciones gaussianas permitirá representar de
manera realista los defectos geométricos localizados, facilitando su análisis espacial y su interpretación
dentro de una formulación tipo ecuación de Poisson. Bajo esta premisa, se espera que la metodología
propuesta no solo mejore la detección de irregularidades, sino que también proporcione indicadores
cuantitativos confiables para evaluar el estado geométrico de la estructura. En consecuencia, se
hipotetiza que la combinación de tecnologías de captura tridimensional y herramientas matemáticas
avanzadas constituye un enfoque más preciso, objetivo y eficiente para la evaluación geométrica de
infraestructuras en condiciones reales, (Yacila, 2019).
Zona de estudio
La zona de estudio corresponde a un puente peatonal ubicado en un entorno urbano dentro del estado de
Hidalgo, caracterizado por un flujo constante de peatones y la presencia de vialidades de tránsito
vehicular en su entorno inmediato. Este tipo de infraestructura cumple una función esencial en la
movilidad urbana, al permitir el cruce seguro de usuarios sobre avenidas o vías de alta circulación. El
puente presenta una configuración estructural típica, conformada por un tablero principal, escaleras de
acceso en ambos extremos, descansos intermedios y elementos de protección como barandales. La
geometría del puente mostrada en la Figura 1, incluye superficies inclinadas, cambios de nivel y uniones
entre elementos estructurales, lo cual lo convierte en un caso adecuado para el análisis de variación
geométrica mediante técnicas avanzadas.
Hipótesis
La aplicación de una metodología integrada basada en el uso de escáner láser 3D y el análisis matemático
mediante el operador Laplaciano permite identificar, cuantificar y localizar con mayor precisión las
variaciones geométricas presentes en un puente peatonal, en comparación con métodos tradicionales de
levantamiento y evaluación geométrica. Se plantea que, al generar un modelo tridimensional as-built de
alta densidad a partir de una nube de puntos, es posible representar de manera fiel la geometría real de
la estructura. A su vez, mediante la discretización de la superficie y la aplicación de operadores
diferenciales, particularmente el Laplaciano, se pueden detectar cambios locales en la forma que no son
evidentes mediante inspecciones convencionales.
Asimismo, la incorporación de un modelo basado en funciones gaussianas permitirá representar de
manera realista los defectos geométricos localizados, facilitando su análisis espacial y su interpretación
dentro de una formulación tipo ecuación de Poisson. Bajo esta premisa, se espera que la metodología
propuesta no solo mejore la detección de irregularidades, sino que también proporcione indicadores
cuantitativos confiables para evaluar el estado geométrico de la estructura. En consecuencia, se
hipotetiza que la combinación de tecnologías de captura tridimensional y herramientas matemáticas
avanzadas constituye un enfoque más preciso, objetivo y eficiente para la evaluación geométrica de
infraestructuras en condiciones reales, (Yacila, 2019).
Zona de estudio
La zona de estudio corresponde a un puente peatonal ubicado en un entorno urbano dentro del estado de
Hidalgo, caracterizado por un flujo constante de peatones y la presencia de vialidades de tránsito
vehicular en su entorno inmediato. Este tipo de infraestructura cumple una función esencial en la
movilidad urbana, al permitir el cruce seguro de usuarios sobre avenidas o vías de alta circulación. El
puente presenta una configuración estructural típica, conformada por un tablero principal, escaleras de
acceso en ambos extremos, descansos intermedios y elementos de protección como barandales. La
geometría del puente mostrada en la Figura 1, incluye superficies inclinadas, cambios de nivel y uniones
entre elementos estructurales, lo cual lo convierte en un caso adecuado para el análisis de variación
geométrica mediante técnicas avanzadas.
pág. 5288
Las condiciones del entorno incluyen exposición a factores ambientales como variaciones de
temperatura, humedad, radiación solar y cargas dinámicas asociadas al tránsito peatonal, los cuales
pueden influir en el comportamiento geométrico de la estructura a lo largo del tiempo.
Figura 1: Zona de estudio del puente peatonal.
Asimismo, la interacción con el entorno urbano genera condiciones de accesibilidad y visibilidad que
deben considerarse durante el levantamiento topográfico. La selección de esta zona de estudio responde
a la necesidad de analizar una estructura real en condiciones operativas, permitiendo evaluar la
aplicabilidad de la metodología propuesta en escenarios urbanos y obtener resultados representativos
para su posible implementación en otras infraestructuras similares, (Napolitano, 2019).
METODOLOGÍA
La metodología desarrollada se fundamenta en la representación discreta de la geometría mediante datos
tridimensionales y en la aplicación de operadores diferenciales para el análisis de superficies. A partir
de la adquisición de una nube de puntos mediante escáner láser 3D, se obtiene un muestreo denso de la
superficie del puente, el cual puede interpretarse como una discretización del espacio continuo. Este
conjunto de datos se transforma posteriormente en una malla triangulada, permitiendo la aplicación de
herramientas de geometría computacional.
Sobre esta malla, se define el operador Laplaciano discreto, que aproxima el comportamiento del
Laplace–Beltrami en superficies continuas. Este operador permite evaluar la variación local de la
geometría al medir la diferencia entre la posición de un punto y el promedio ponderado de sus vecinos.
Las condiciones del entorno incluyen exposición a factores ambientales como variaciones de
temperatura, humedad, radiación solar y cargas dinámicas asociadas al tránsito peatonal, los cuales
pueden influir en el comportamiento geométrico de la estructura a lo largo del tiempo.
Figura 1: Zona de estudio del puente peatonal.
Asimismo, la interacción con el entorno urbano genera condiciones de accesibilidad y visibilidad que
deben considerarse durante el levantamiento topográfico. La selección de esta zona de estudio responde
a la necesidad de analizar una estructura real en condiciones operativas, permitiendo evaluar la
aplicabilidad de la metodología propuesta en escenarios urbanos y obtener resultados representativos
para su posible implementación en otras infraestructuras similares, (Napolitano, 2019).
METODOLOGÍA
La metodología desarrollada se fundamenta en la representación discreta de la geometría mediante datos
tridimensionales y en la aplicación de operadores diferenciales para el análisis de superficies. A partir
de la adquisición de una nube de puntos mediante escáner láser 3D, se obtiene un muestreo denso de la
superficie del puente, el cual puede interpretarse como una discretización del espacio continuo. Este
conjunto de datos se transforma posteriormente en una malla triangulada, permitiendo la aplicación de
herramientas de geometría computacional.
Sobre esta malla, se define el operador Laplaciano discreto, que aproxima el comportamiento del
Laplace–Beltrami en superficies continuas. Este operador permite evaluar la variación local de la
geometría al medir la diferencia entre la posición de un punto y el promedio ponderado de sus vecinos.
pág. 5289
En términos físicos y geométricos, el Laplaciano está relacionado con la curvatura media de la
superficie, lo que lo convierte en un indicador directo de irregularidades, cambios de forma y
discontinuidades. Adicionalmente, la metodología incorpora un modelo de fuentes geométricas basado
en funciones gaussianas, las cuales representan defectos localizados en la estructura. Estas funciones se
integran en una formulación tipo ecuación de Poisson, donde el Laplaciano actúa como un operador de
difusión que distribuye las variaciones locales sobre la geometría global. Este enfoque permite analizar
la estructura desde una perspectiva cuantitativa, combinando datos reales con modelos matemáticos que
describen la distribución espacial de la deformación, (Deyazada, 2019).
Planeación del levantamiento
Se define el objetivo del estudio, delimitando la zona de interés y estableciendo los requerimientos
técnicos del levantamiento. Se seleccionan los equipos, se analizan las condiciones del entorno y se
diseña la estrategia de escaneo, considerando accesibilidad, cobertura geométrica y seguridad durante
la captura de datos.
Preparación del equipo
Se verifica el correcto funcionamiento del escáner láser 3D, incluyendo batería, almacenamiento y
calibración. Se monta el equipo sobre el trípode y se ajusta el nivel para garantizar precisión en las
mediciones. Además, se configuran los parámetros de captura según la resolución y alcance requeridos.
Ejecución del escaneo en campo
Se realizan múltiples escaneos en posiciones estratégicas alrededor del puente, asegurando un adecuado
solape entre estaciones. Se captura la geometría completa del elemento, incluyendo accesos, tablero y
detalles estructurales, manteniendo condiciones estables para evitar errores en la adquisición de datos.
Control de calidad en campo
Durante la captura, se verifica que cada escaneo se haya registrado correctamente, revisando
visualmente la información obtenida. Se asegura la continuidad del levantamiento, evitando zonas sin
cobertura, y se realizan escaneos adicionales en áreas críticas o de difícil acceso para garantizar la
integridad del modelo final.
En términos físicos y geométricos, el Laplaciano está relacionado con la curvatura media de la
superficie, lo que lo convierte en un indicador directo de irregularidades, cambios de forma y
discontinuidades. Adicionalmente, la metodología incorpora un modelo de fuentes geométricas basado
en funciones gaussianas, las cuales representan defectos localizados en la estructura. Estas funciones se
integran en una formulación tipo ecuación de Poisson, donde el Laplaciano actúa como un operador de
difusión que distribuye las variaciones locales sobre la geometría global. Este enfoque permite analizar
la estructura desde una perspectiva cuantitativa, combinando datos reales con modelos matemáticos que
describen la distribución espacial de la deformación, (Deyazada, 2019).
Planeación del levantamiento
Se define el objetivo del estudio, delimitando la zona de interés y estableciendo los requerimientos
técnicos del levantamiento. Se seleccionan los equipos, se analizan las condiciones del entorno y se
diseña la estrategia de escaneo, considerando accesibilidad, cobertura geométrica y seguridad durante
la captura de datos.
Preparación del equipo
Se verifica el correcto funcionamiento del escáner láser 3D, incluyendo batería, almacenamiento y
calibración. Se monta el equipo sobre el trípode y se ajusta el nivel para garantizar precisión en las
mediciones. Además, se configuran los parámetros de captura según la resolución y alcance requeridos.
Ejecución del escaneo en campo
Se realizan múltiples escaneos en posiciones estratégicas alrededor del puente, asegurando un adecuado
solape entre estaciones. Se captura la geometría completa del elemento, incluyendo accesos, tablero y
detalles estructurales, manteniendo condiciones estables para evitar errores en la adquisición de datos.
Control de calidad en campo
Durante la captura, se verifica que cada escaneo se haya registrado correctamente, revisando
visualmente la información obtenida. Se asegura la continuidad del levantamiento, evitando zonas sin
cobertura, y se realizan escaneos adicionales en áreas críticas o de difícil acceso para garantizar la
integridad del modelo final.
pág. 5290
Transferencia de datos
Los archivos generados por el escáner se transfieren a un equipo de cómputo para su procesamiento. Se
organizan las carpetas de trabajo y se verifican los datos capturados, asegurando que no existan archivos
corruptos o incompletos que puedan afectar las etapas posteriores del análisis.
Registro y alineación de escaneos
Se importan los datos a un software especializado donde se realiza la alineación de las distintas
estaciones de escaneo. Este proceso permite unificar las nubes de puntos en un solo sistema de
referencia, utilizando algoritmos de registro que minimizan errores y garantizan coherencia espacial.
Limpieza y filtrado de la nube
Se eliminan puntos erróneos, ruido y elementos ajenos a la estructura de interés. Este proceso mejora la
calidad de la nube de puntos, facilitando su interpretación y evitando distorsiones en el análisis
geométrico posterior. Se aplican filtros manuales y automáticos según las características del entorno.
Generación de malla tridimensional
A partir de la nube de puntos, se construye una malla triangulada que representa la superficie del puente.
Esta discretización permite transformar los datos en una estructura computacional adecuada para aplicar
métodos matemáticos, garantizando una representación continua y coherente de la geometría.
Análisis geométrico mediante modelo laplaciano
Se aplica el operador Laplaciano sobre la malla para evaluar la variación local de la geometría. Se
integran modelos gaussianos para representar defectos localizados, permitiendo identificar zonas de
mayor irregularidad, analizar la distribución espacial de las deformaciones y generar indicadores
cuantitativos del comportamiento geométrico.
Interpretación y presentación de resultados
Se generan mapas de curvatura, gráficas de tendencia y visualizaciones del Laplaciano para facilitar la
interpretación de los resultados. Se identifican zonas críticas y se documentan hallazgos relevantes,
integrando la información en un reporte que respalde conclusiones y posibles recomendaciones para
evaluación estructural.
Transferencia de datos
Los archivos generados por el escáner se transfieren a un equipo de cómputo para su procesamiento. Se
organizan las carpetas de trabajo y se verifican los datos capturados, asegurando que no existan archivos
corruptos o incompletos que puedan afectar las etapas posteriores del análisis.
Registro y alineación de escaneos
Se importan los datos a un software especializado donde se realiza la alineación de las distintas
estaciones de escaneo. Este proceso permite unificar las nubes de puntos en un solo sistema de
referencia, utilizando algoritmos de registro que minimizan errores y garantizan coherencia espacial.
Limpieza y filtrado de la nube
Se eliminan puntos erróneos, ruido y elementos ajenos a la estructura de interés. Este proceso mejora la
calidad de la nube de puntos, facilitando su interpretación y evitando distorsiones en el análisis
geométrico posterior. Se aplican filtros manuales y automáticos según las características del entorno.
Generación de malla tridimensional
A partir de la nube de puntos, se construye una malla triangulada que representa la superficie del puente.
Esta discretización permite transformar los datos en una estructura computacional adecuada para aplicar
métodos matemáticos, garantizando una representación continua y coherente de la geometría.
Análisis geométrico mediante modelo laplaciano
Se aplica el operador Laplaciano sobre la malla para evaluar la variación local de la geometría. Se
integran modelos gaussianos para representar defectos localizados, permitiendo identificar zonas de
mayor irregularidad, analizar la distribución espacial de las deformaciones y generar indicadores
cuantitativos del comportamiento geométrico.
Interpretación y presentación de resultados
Se generan mapas de curvatura, gráficas de tendencia y visualizaciones del Laplaciano para facilitar la
interpretación de los resultados. Se identifican zonas críticas y se documentan hallazgos relevantes,
integrando la información en un reporte que respalde conclusiones y posibles recomendaciones para
evaluación estructural.
pág. 5291
Modelo LAPLACIANO.
Paso 1. Definición de las variables geométricas
Se define una función de deformación total del puente, se muestra en la Ecuación 3:
𝑢(𝑠) = ∑ 𝐿𝑖
6
𝑖=1
(𝑠) ( 3 )
Donde cada variable representa un tipo de defecto geométrico:
L_1: Curvatura global, L_2: Irregularidad media, L_3: Rigidez geométrica, L_4: Distorsión localizada,
L_5: Rugosidad, L_6: Micro defectos.
Paso 2. Modelo gaussiano para defectos locales
Cada variable se modela con una función gaussiana, se muestra en la Ecuación 4 (no periódica):
𝐿𝑖(𝑠) = 𝐴𝑖exp (−− (𝑠−𝜇𝑖)2
2𝜎𝑖2 ) ( 4 )
donde:
𝐴𝑖: intensidad del defecto
𝜇𝑖: ubicación del defecto
𝜎𝑖: extensión del defecto
Interpretación
▪ Cada 𝐿𝑖representa una zona específica del puente donde existe una anomalía
▪ No hay repetición periódica
Paso 3. Ecuación de Poisson
El modelo completo se expresa como se muestra en la Ecuación 5:
Δ𝑢 = ∑ 𝐴𝑖
6
𝑖=1
exp (−− (𝑠−𝜇𝑖)2
2𝜎𝑖2 )
( 5 )
Interpretación
▪ El lado derecho representa fuentes de deformación geométrica
▪ Cada gaussiana es un defecto localizado
▪ El laplaciano distribuye ese efecto sobre la geometría
Modelo LAPLACIANO.
Paso 1. Definición de las variables geométricas
Se define una función de deformación total del puente, se muestra en la Ecuación 3:
𝑢(𝑠) = ∑ 𝐿𝑖
6
𝑖=1
(𝑠) ( 3 )
Donde cada variable representa un tipo de defecto geométrico:
L_1: Curvatura global, L_2: Irregularidad media, L_3: Rigidez geométrica, L_4: Distorsión localizada,
L_5: Rugosidad, L_6: Micro defectos.
Paso 2. Modelo gaussiano para defectos locales
Cada variable se modela con una función gaussiana, se muestra en la Ecuación 4 (no periódica):
𝐿𝑖(𝑠) = 𝐴𝑖exp (−− (𝑠−𝜇𝑖)2
2𝜎𝑖2 ) ( 4 )
donde:
𝐴𝑖: intensidad del defecto
𝜇𝑖: ubicación del defecto
𝜎𝑖: extensión del defecto
Interpretación
▪ Cada 𝐿𝑖representa una zona específica del puente donde existe una anomalía
▪ No hay repetición periódica
Paso 3. Ecuación de Poisson
El modelo completo se expresa como se muestra en la Ecuación 5:
Δ𝑢 = ∑ 𝐴𝑖
6
𝑖=1
exp (−− (𝑠−𝜇𝑖)2
2𝜎𝑖2 )
( 5 )
Interpretación
▪ El lado derecho representa fuentes de deformación geométrica
▪ Cada gaussiana es un defecto localizado
▪ El laplaciano distribuye ese efecto sobre la geometría
pág. 5292
Paso 4. Interpretación física de cada variable
𝐿1(𝑠): Curvatura global
▪ Defecto amplio (σ grande)
▪ Representa deformación general del puente
𝐿2(𝑠): Irregularidad media
▪ Cambios en pendientes o transiciones
𝐿3(𝑠): Rigidez geométrica
▪ Zonas donde la geometría resiste cambios
𝐿4(𝑠): Distorsión localizada
▪ Bordes de escalones o uniones
𝐿5(𝑠): Rugosidad
▪ Irregularidades pequeñas
𝐿6(𝑠): Microdefectos
▪ Ruido del escáner o microfisuras geométricas
Paso 5. Modelo final e interpretación global
La solución del sistema, se muestra en la Ecuación 6:
Δ𝑢 = 𝑓(𝑠) ( 6 )
Indica que:
El puente no es geométricamente uniforme
Las deformaciones están concentradas en zonas específicas
El comportamiento global es la suma de efectos locales
Conclusión del modelo
El modelo gaussiano-laplaciano permite:
▪ Detectar defectos puntuales
▪ Cuantificar su intensidad
▪ Ubicar su posición exacta
▪ Analizar la distribución espacial de la deformación
Paso 4. Interpretación física de cada variable
𝐿1(𝑠): Curvatura global
▪ Defecto amplio (σ grande)
▪ Representa deformación general del puente
𝐿2(𝑠): Irregularidad media
▪ Cambios en pendientes o transiciones
𝐿3(𝑠): Rigidez geométrica
▪ Zonas donde la geometría resiste cambios
𝐿4(𝑠): Distorsión localizada
▪ Bordes de escalones o uniones
𝐿5(𝑠): Rugosidad
▪ Irregularidades pequeñas
𝐿6(𝑠): Microdefectos
▪ Ruido del escáner o microfisuras geométricas
Paso 5. Modelo final e interpretación global
La solución del sistema, se muestra en la Ecuación 6:
Δ𝑢 = 𝑓(𝑠) ( 6 )
Indica que:
El puente no es geométricamente uniforme
Las deformaciones están concentradas en zonas específicas
El comportamiento global es la suma de efectos locales
Conclusión del modelo
El modelo gaussiano-laplaciano permite:
▪ Detectar defectos puntuales
▪ Cuantificar su intensidad
▪ Ubicar su posición exacta
▪ Analizar la distribución espacial de la deformación
pág. 5293
Modelo GAUSSIANO-LAPLACIANO
El modelo gaussiano-laplaciano es un enfoque matemático utilizado para analizar la variación
geométrica de superficies a partir de la combinación de dos conceptos fundamentales: la representación
de defectos localizados y el análisis diferencial de la forma. Este modelo resulta especialmente útil en
el estudio de estructuras reales, donde las irregularidades geométricas no siguen patrones regulares, sino
que se presentan de manera puntual y distribuida de forma heterogénea. En este contexto, los defectos
geométricos se conceptualizan como perturbaciones locales que afectan la forma de la superficie. Estas
perturbaciones pueden representar distintos fenómenos, como deformaciones globales, irregularidades
intermedias, distorsiones en uniones estructurales o variaciones de pequeña escala. Para describirlas de
manera continua y realista, se emplea un modelo basado en funciones de tipo gaussiano, el cual permite
caracterizar cada defecto en términos de su intensidad, ubicación y extensión espacial.
Una vez representadas estas fuentes de variación, el modelo incorpora el operador laplaciano como
herramienta para analizar cómo dichas perturbaciones influyen en la geometría global. Desde un punto
de vista físico y geométrico, el laplaciano mide la variación local de la superficie en relación con su
entorno inmediato, lo que lo convierte en un indicador de curvatura y cambio de forma. Esto permite
identificar zonas donde la geometría presenta discontinuidades, transiciones abruptas o
comportamientos anómalos. La integración de ambos enfoques permite no solo detectar la presencia de
defectos, sino también comprender su distribución espacial y su interacción dentro del sistema
geométrico. De esta manera, el modelo gaussiano-laplaciano proporciona una descripción cuantitativa
y coherente del comportamiento geométrico, facilitando el análisis de estructuras complejas a partir de
datos tridimensionales y contribuyendo al desarrollo de metodologías avanzadas en ingeniería y análisis
geométrico.
RESULTADOS
Se realizo un escaneo 3D y se verifica los metadatos básicos, se genera un archivo que almacena 1 nube
principal con aproximadamente 11,938,604 puntos, esta es procesada con Agisoft Metashape. La caja
envolvente es de 32.0 m en “eje x”, 59.0 m en “eje y” y 8.54 m en “eje z”, en sistema local en metros.
Se realiza una visualización de la nube con un entorno E57 especializado estructuralmente válido,
pasado por filtros analíticos y manuales del entorno.
Modelo GAUSSIANO-LAPLACIANO
El modelo gaussiano-laplaciano es un enfoque matemático utilizado para analizar la variación
geométrica de superficies a partir de la combinación de dos conceptos fundamentales: la representación
de defectos localizados y el análisis diferencial de la forma. Este modelo resulta especialmente útil en
el estudio de estructuras reales, donde las irregularidades geométricas no siguen patrones regulares, sino
que se presentan de manera puntual y distribuida de forma heterogénea. En este contexto, los defectos
geométricos se conceptualizan como perturbaciones locales que afectan la forma de la superficie. Estas
perturbaciones pueden representar distintos fenómenos, como deformaciones globales, irregularidades
intermedias, distorsiones en uniones estructurales o variaciones de pequeña escala. Para describirlas de
manera continua y realista, se emplea un modelo basado en funciones de tipo gaussiano, el cual permite
caracterizar cada defecto en términos de su intensidad, ubicación y extensión espacial.
Una vez representadas estas fuentes de variación, el modelo incorpora el operador laplaciano como
herramienta para analizar cómo dichas perturbaciones influyen en la geometría global. Desde un punto
de vista físico y geométrico, el laplaciano mide la variación local de la superficie en relación con su
entorno inmediato, lo que lo convierte en un indicador de curvatura y cambio de forma. Esto permite
identificar zonas donde la geometría presenta discontinuidades, transiciones abruptas o
comportamientos anómalos. La integración de ambos enfoques permite no solo detectar la presencia de
defectos, sino también comprender su distribución espacial y su interacción dentro del sistema
geométrico. De esta manera, el modelo gaussiano-laplaciano proporciona una descripción cuantitativa
y coherente del comportamiento geométrico, facilitando el análisis de estructuras complejas a partir de
datos tridimensionales y contribuyendo al desarrollo de metodologías avanzadas en ingeniería y análisis
geométrico.
RESULTADOS
Se realizo un escaneo 3D y se verifica los metadatos básicos, se genera un archivo que almacena 1 nube
principal con aproximadamente 11,938,604 puntos, esta es procesada con Agisoft Metashape. La caja
envolvente es de 32.0 m en “eje x”, 59.0 m en “eje y” y 8.54 m en “eje z”, en sistema local en metros.
Se realiza una visualización de la nube con un entorno E57 especializado estructuralmente válido,
pasado por filtros analíticos y manuales del entorno.
pág. 5294
Nube de Puntos
La Figura 2, presenta dos visualizaciones de la nube de puntos correspondiente a un puente peatonal
obtenida mediante escáner láser 3D, donde se observa la representación tridimensional de la geometría
estructural a partir de un conjunto denso de puntos en el espacio.
Figura 2: Nube de puntos del puente peatonal.
En la vista izquierda, se aprecia una perspectiva lateral del puente, destacando elementos como el tablero
principal, las escaleras de acceso, los barandales y la estructura de soporte. La distribución de puntos
evidencia una alta densidad de captura, permitiendo distinguir con claridad los componentes
geométricos y las transiciones entre ellos. Por otro lado, la vista derecha muestra una perspectiva interna
del puente, donde se observa la estructura desde un ángulo más complejo. Esta visualización resalta la
capacidad del escáner para capturar geometrías ocultas o de difícil acceso, como la parte inferior del
tablero y las intersecciones estructurales. La variación en los colores sugiere la superposición de
múltiples estaciones de escaneo, lo cual es indicativo del proceso de registro y alineación de la nube de
puntos. En conjunto, la imagen demuestra la eficacia del escaneo láser 3D para representar con precisión
la geometría de infraestructuras complejas, proporcionando una base sólida para el análisis geométrico,
la generación de modelos tridimensionales y la aplicación de herramientas matemáticas avanzadas.
Variaciones Geométricas
La Figura 3, presenta la respuesta global de deformación 𝐷(𝑥)a lo largo de la coordenada longitudinal
normalizada del puente, obtenida como la superposición de múltiples contribuciones locales
representadas por funciones gaussianas. Esta curva describe la distribución espacial de las variaciones
geométricas, evidenciando un comportamiento no uniforme a lo largo de la estructura.
a) Perspectiva lateral b) Perspectiva interna
Nube de Puntos
La Figura 2, presenta dos visualizaciones de la nube de puntos correspondiente a un puente peatonal
obtenida mediante escáner láser 3D, donde se observa la representación tridimensional de la geometría
estructural a partir de un conjunto denso de puntos en el espacio.
Figura 2: Nube de puntos del puente peatonal.
En la vista izquierda, se aprecia una perspectiva lateral del puente, destacando elementos como el tablero
principal, las escaleras de acceso, los barandales y la estructura de soporte. La distribución de puntos
evidencia una alta densidad de captura, permitiendo distinguir con claridad los componentes
geométricos y las transiciones entre ellos. Por otro lado, la vista derecha muestra una perspectiva interna
del puente, donde se observa la estructura desde un ángulo más complejo. Esta visualización resalta la
capacidad del escáner para capturar geometrías ocultas o de difícil acceso, como la parte inferior del
tablero y las intersecciones estructurales. La variación en los colores sugiere la superposición de
múltiples estaciones de escaneo, lo cual es indicativo del proceso de registro y alineación de la nube de
puntos. En conjunto, la imagen demuestra la eficacia del escaneo láser 3D para representar con precisión
la geometría de infraestructuras complejas, proporcionando una base sólida para el análisis geométrico,
la generación de modelos tridimensionales y la aplicación de herramientas matemáticas avanzadas.
Variaciones Geométricas
La Figura 3, presenta la respuesta global de deformación 𝐷(𝑥)a lo largo de la coordenada longitudinal
normalizada del puente, obtenida como la superposición de múltiples contribuciones locales
representadas por funciones gaussianas. Esta curva describe la distribución espacial de las variaciones
geométricas, evidenciando un comportamiento no uniforme a lo largo de la estructura.
a) Perspectiva lateral b) Perspectiva interna
pág. 5295
Se observa que la deformación inicia con valores cercanos a cero en el extremo inicial (𝑥 ≈ 0),
incrementándose progresivamente hasta alcanzar un primer cambio significativo alrededor de 𝑥 ≈ 0.2,
lo cual sugiere la presencia de una irregularidad media o transición geométrica. Posteriormente, la curva
mantiene una tendencia relativamente estable con ligeras variaciones hasta aproximadamente 𝑥 ≈ 0.5,
indicando una región de comportamiento geométrico más uniforme.
Figura 3: Respuesta global de deformación del puente peatonal.
El rasgo más relevante corresponde a un pico pronunciado alrededor de 𝑥 ≈ 0.62, donde la deformación
alcanza su valor máximo. Este comportamiento es característico de una distorsión localizada de alta
intensidad, posiblemente asociada a un cambio estructural, una unión o una discontinuidad geométrica
significativa. La amplitud y la forma del pico sugieren una contribución dominante de una fuente
gaussiana con baja dispersión, lo que implica un defecto altamente concentrado. A partir de este punto,
la deformación decrece gradualmente, mostrando una tendencia descendente hacia el extremo final del
dominio. Se identifica un pequeño incremento adicional alrededor de 𝑥 ≈ 0.85, atribuible a
irregularidades de menor escala, como rugosidad o microdefectos.
Finalmente, la curva retorna a valores cercanos a cero en 𝑥 ≈ 1, reflejando una disminución de las
perturbaciones geométricas. En conjunto, se evidencia que la geometría del puente está influenciada por
la superposición de efectos locales, donde la deformación global es el resultado de múltiples
contribuciones distribuidas espacialmente, permitiendo identificar zonas críticas y patrones de variación
geométrica relevantes para su análisis estructural.
Se observa que la deformación inicia con valores cercanos a cero en el extremo inicial (𝑥 ≈ 0),
incrementándose progresivamente hasta alcanzar un primer cambio significativo alrededor de 𝑥 ≈ 0.2,
lo cual sugiere la presencia de una irregularidad media o transición geométrica. Posteriormente, la curva
mantiene una tendencia relativamente estable con ligeras variaciones hasta aproximadamente 𝑥 ≈ 0.5,
indicando una región de comportamiento geométrico más uniforme.
Figura 3: Respuesta global de deformación del puente peatonal.
El rasgo más relevante corresponde a un pico pronunciado alrededor de 𝑥 ≈ 0.62, donde la deformación
alcanza su valor máximo. Este comportamiento es característico de una distorsión localizada de alta
intensidad, posiblemente asociada a un cambio estructural, una unión o una discontinuidad geométrica
significativa. La amplitud y la forma del pico sugieren una contribución dominante de una fuente
gaussiana con baja dispersión, lo que implica un defecto altamente concentrado. A partir de este punto,
la deformación decrece gradualmente, mostrando una tendencia descendente hacia el extremo final del
dominio. Se identifica un pequeño incremento adicional alrededor de 𝑥 ≈ 0.85, atribuible a
irregularidades de menor escala, como rugosidad o microdefectos.
Finalmente, la curva retorna a valores cercanos a cero en 𝑥 ≈ 1, reflejando una disminución de las
perturbaciones geométricas. En conjunto, se evidencia que la geometría del puente está influenciada por
la superposición de efectos locales, donde la deformación global es el resultado de múltiples
contribuciones distribuidas espacialmente, permitiendo identificar zonas críticas y patrones de variación
geométrica relevantes para su análisis estructural.
pág. 5296
LAPLACE/POISSON
La Figura 4, presenta la aplicación unidimensional de la ecuación diferencial de Laplace/Poisson sobre
un modelo de deformación geométrica, donde se integran seis variables representadas mediante
funciones gaussianas. Cada una de estas funciones corresponde a un tipo específico de defecto
geométrico: curvatura global, irregularidad media, rigidez geométrica, distorsión localizada, rugosidad
y microdefectos, las cuales se distribuyen a lo largo de la coordenada longitudinal normalizada del
puente.
Figura 4: Tipo específico de defecto geométrico del puente peatonal.
La curva identificada como fuente total 𝑓(𝑥)corresponde a la superposición de todas las contribuciones
individuales, reflejando la distribución global de las irregularidades geométricas. Se observa que esta
función presenta múltiples picos, destacando uno principal alrededor de 𝑥 ≈ 0.6, asociado a una
distorsión localizada de mayor intensidad, así como variaciones menores distribuidas en otros puntos
del dominio. Por otro lado, la curva discontinua representa la solución 𝑢(𝑥)de la ecuación de Poisson,
la cual muestra un comportamiento suavizado respecto a la función fuente.
Este efecto evidencia la acción del operador Laplaciano como mecanismo de difusión, redistribuyendo
las variaciones locales sobre la geometría global. En conjunto, se ilustra cómo los defectos geométricos
localizados influyen en el comportamiento global de la estructura, permitiendo identificar tanto la
intensidad como la distribución espacial de las deformaciones a partir de un enfoque matemático
diferencial.
LAPLACE/POISSON
La Figura 4, presenta la aplicación unidimensional de la ecuación diferencial de Laplace/Poisson sobre
un modelo de deformación geométrica, donde se integran seis variables representadas mediante
funciones gaussianas. Cada una de estas funciones corresponde a un tipo específico de defecto
geométrico: curvatura global, irregularidad media, rigidez geométrica, distorsión localizada, rugosidad
y microdefectos, las cuales se distribuyen a lo largo de la coordenada longitudinal normalizada del
puente.
Figura 4: Tipo específico de defecto geométrico del puente peatonal.
La curva identificada como fuente total 𝑓(𝑥)corresponde a la superposición de todas las contribuciones
individuales, reflejando la distribución global de las irregularidades geométricas. Se observa que esta
función presenta múltiples picos, destacando uno principal alrededor de 𝑥 ≈ 0.6, asociado a una
distorsión localizada de mayor intensidad, así como variaciones menores distribuidas en otros puntos
del dominio. Por otro lado, la curva discontinua representa la solución 𝑢(𝑥)de la ecuación de Poisson,
la cual muestra un comportamiento suavizado respecto a la función fuente.
Este efecto evidencia la acción del operador Laplaciano como mecanismo de difusión, redistribuyendo
las variaciones locales sobre la geometría global. En conjunto, se ilustra cómo los defectos geométricos
localizados influyen en el comportamiento global de la estructura, permitiendo identificar tanto la
intensidad como la distribución espacial de las deformaciones a partir de un enfoque matemático
diferencial.
pág. 5297
Análisis
La Tabla 1, presenta una métrica cuantitativa asociada al proceso de levantamiento y procesamiento de
una nube de puntos obtenida mediante escáner láser 3D en un puente peatonal. Estas métricas permiten
evaluar la calidad del registro, la precisión geométrica y la confiabilidad del modelo tridimensional
generado.
Tabla 1: Métrica de levantamiento y procesamiento de nube de puntos del puente peatonal
Se observa que el levantamiento se realizó mediante un total de 28 escaneos, con un tiempo promedio
de 2.5 minutos por estación, lo cual indica una estrategia eficiente de captura de datos. La precisión
nominal del equipo, establecida en ±2 mm, se encuentra en concordancia con los errores obtenidos
durante el proceso de registro, donde el error medio es de 1.21 mm y el error RMS global de 3.24 mm,
valores que reflejan una adecuada alineación entre las estaciones de escaneo.
El error máximo residual de 7.25 mm sugiere la presencia de pequeñas discrepancias locales, mientras
que la desviación estándar de 2.37 mm indica una distribución relativamente homogénea de los errores.
El solape promedio del 35% entre estaciones garantiza una correcta correspondencia geométrica,
permitiendo la integración de las 28 estaciones sin pérdidas de información. Asimismo, la nube de
puntos presenta un espaciamiento medio de 1.1 mm y una alta densidad de aproximadamente 800,000
puntos por metro cuadrado, lo que asegura un alto nivel de detalle. Finalmente, la eliminación del 35%
de ruido evidencia un proceso de filtrado adecuado para mejorar la calidad del modelo final.
Métrica Valor
Número Total de Escaneos 28
Tiempo Promedio Por Escaneo 2.5 min
Precisión Nominal del Equipo ±2 mm
Error Medio de Registro 1.21 mm
Error RMS Global 3.24 mm
Error Máximo Residual 7.25 mm
Desviación Estándar de Residuos 2.37 mm
Solape Promedio Entre Estaciones 35%
Estaciones Registradas Correctamente 28/28
Espaciamiento Medio de Puntos 1.1 mm
Densidad Media de Puntos 800,000 pt/m²
Porcentaje de Ruido Eliminado 35%
Análisis
La Tabla 1, presenta una métrica cuantitativa asociada al proceso de levantamiento y procesamiento de
una nube de puntos obtenida mediante escáner láser 3D en un puente peatonal. Estas métricas permiten
evaluar la calidad del registro, la precisión geométrica y la confiabilidad del modelo tridimensional
generado.
Tabla 1: Métrica de levantamiento y procesamiento de nube de puntos del puente peatonal
Se observa que el levantamiento se realizó mediante un total de 28 escaneos, con un tiempo promedio
de 2.5 minutos por estación, lo cual indica una estrategia eficiente de captura de datos. La precisión
nominal del equipo, establecida en ±2 mm, se encuentra en concordancia con los errores obtenidos
durante el proceso de registro, donde el error medio es de 1.21 mm y el error RMS global de 3.24 mm,
valores que reflejan una adecuada alineación entre las estaciones de escaneo.
El error máximo residual de 7.25 mm sugiere la presencia de pequeñas discrepancias locales, mientras
que la desviación estándar de 2.37 mm indica una distribución relativamente homogénea de los errores.
El solape promedio del 35% entre estaciones garantiza una correcta correspondencia geométrica,
permitiendo la integración de las 28 estaciones sin pérdidas de información. Asimismo, la nube de
puntos presenta un espaciamiento medio de 1.1 mm y una alta densidad de aproximadamente 800,000
puntos por metro cuadrado, lo que asegura un alto nivel de detalle. Finalmente, la eliminación del 35%
de ruido evidencia un proceso de filtrado adecuado para mejorar la calidad del modelo final.
Métrica Valor
Número Total de Escaneos 28
Tiempo Promedio Por Escaneo 2.5 min
Precisión Nominal del Equipo ±2 mm
Error Medio de Registro 1.21 mm
Error RMS Global 3.24 mm
Error Máximo Residual 7.25 mm
Desviación Estándar de Residuos 2.37 mm
Solape Promedio Entre Estaciones 35%
Estaciones Registradas Correctamente 28/28
Espaciamiento Medio de Puntos 1.1 mm
Densidad Media de Puntos 800,000 pt/m²
Porcentaje de Ruido Eliminado 35%
pág. 5298
Operador LAPLACIANO
La Figura 5, presenta una comparación entre la función de deformación total 𝑓(𝑥)y su operador
Laplaciano Δ𝑓(𝑥), evaluadas a lo largo de la coordenada longitudinal normalizada del puente. La curva
continua representa la distribución de la deformación geométrica, mientras que la curva discontinua
corresponde al Laplaciano, el cual describe la variación local de dicha deformación. Se observa que la
función 𝑓(𝑥)presenta un comportamiento suave y continuo, con un incremento progresivo hasta
alcanzar un máximo alrededor de 𝑥 ≈ 0.6, seguido de una disminución gradual hacia los extremos del
dominio. Este patrón refleja la distribución global de las irregularidades geométricas, influenciada por
la superposición de múltiples defectos localizados.
Figura 5: Función de deformación vs operador Laplaciano.
En contraste, la curva del Laplaciano exhibe oscilaciones pronunciadas, con valores positivos y
negativos que no coinciden directamente con los máximos de 𝑓(𝑥), sino con sus cambios de pendiente.
Los picos del Laplaciano indican zonas donde la variación geométrica es más intensa, es decir, donde
existen cambios abruptos en la forma de la superficie. Particularmente, se identifican regiones críticas
alrededor de 𝑥 ≈ 0.2, 𝑥 ≈ 0.6y 𝑥 ≈ 0.85, donde el Laplaciano alcanza valores extremos. Estas zonas
corresponden a transiciones geométricas significativas o defectos localizados. En conjunto, la figura
evidencia que el operador Laplaciano es una herramienta eficaz para detectar variaciones locales,
complementando el análisis de la deformación global en la evaluación geométrica de la estructura.
Operador LAPLACIANO
La Figura 5, presenta una comparación entre la función de deformación total 𝑓(𝑥)y su operador
Laplaciano Δ𝑓(𝑥), evaluadas a lo largo de la coordenada longitudinal normalizada del puente. La curva
continua representa la distribución de la deformación geométrica, mientras que la curva discontinua
corresponde al Laplaciano, el cual describe la variación local de dicha deformación. Se observa que la
función 𝑓(𝑥)presenta un comportamiento suave y continuo, con un incremento progresivo hasta
alcanzar un máximo alrededor de 𝑥 ≈ 0.6, seguido de una disminución gradual hacia los extremos del
dominio. Este patrón refleja la distribución global de las irregularidades geométricas, influenciada por
la superposición de múltiples defectos localizados.
Figura 5: Función de deformación vs operador Laplaciano.
En contraste, la curva del Laplaciano exhibe oscilaciones pronunciadas, con valores positivos y
negativos que no coinciden directamente con los máximos de 𝑓(𝑥), sino con sus cambios de pendiente.
Los picos del Laplaciano indican zonas donde la variación geométrica es más intensa, es decir, donde
existen cambios abruptos en la forma de la superficie. Particularmente, se identifican regiones críticas
alrededor de 𝑥 ≈ 0.2, 𝑥 ≈ 0.6y 𝑥 ≈ 0.85, donde el Laplaciano alcanza valores extremos. Estas zonas
corresponden a transiciones geométricas significativas o defectos localizados. En conjunto, la figura
evidencia que el operador Laplaciano es una herramienta eficaz para detectar variaciones locales,
complementando el análisis de la deformación global en la evaluación geométrica de la estructura.
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Mapeo LAPLACIANO
La Figura 6, muestra un mapa de calor correspondiente al operador Laplaciano aplicado a la distribución
de deformación geométrica de un puente peatonal, representado en un dominio bidimensional donde el
eje horizontal corresponde a la longitud normalizada (𝑥) y el eje vertical al ancho del puente (𝑦). La
escala de colores indica la magnitud del Laplaciano normalizado, permitiendo identificar zonas de
variación geométrica significativa. Se observa que la distribución presenta bandas verticales bien
definidas, lo cual indica que la variación geométrica depende principalmente de la coordenada
longitudinal, manteniéndose relativamente constante en la dirección transversal. Las regiones con
colores cálidos (amarillos) corresponden a valores positivos del Laplaciano, asociados a cambios de
curvatura convexa o incrementos locales en la deformación. Por otro lado, las zonas con colores fríos
(azules y violetas) representan valores negativos, indicando regiones donde la curvatura es cóncava o
donde se presentan cambios abruptos en la pendiente.
Figura 6: Mapeo Laplaciano.
Destaca una zona crítica alrededor de 𝑥 ≈ 0.6, donde se observa un contraste marcado entre valores
positivos y negativos, lo que sugiere la presencia de una distorsión localizada de alta intensidad. De
manera similar, se identifican otras regiones de variación en 𝑥 ≈ 0.2y 𝑥 ≈ 0.85, asociadas a
irregularidades geométricas de menor escala. En conjunto, el mapa de calor permite visualizar de forma
clara la distribución espacial de las variaciones geométricas, facilitando la identificación de zonas
críticas para su análisis estructural.
Mapeo LAPLACIANO
La Figura 6, muestra un mapa de calor correspondiente al operador Laplaciano aplicado a la distribución
de deformación geométrica de un puente peatonal, representado en un dominio bidimensional donde el
eje horizontal corresponde a la longitud normalizada (𝑥) y el eje vertical al ancho del puente (𝑦). La
escala de colores indica la magnitud del Laplaciano normalizado, permitiendo identificar zonas de
variación geométrica significativa. Se observa que la distribución presenta bandas verticales bien
definidas, lo cual indica que la variación geométrica depende principalmente de la coordenada
longitudinal, manteniéndose relativamente constante en la dirección transversal. Las regiones con
colores cálidos (amarillos) corresponden a valores positivos del Laplaciano, asociados a cambios de
curvatura convexa o incrementos locales en la deformación. Por otro lado, las zonas con colores fríos
(azules y violetas) representan valores negativos, indicando regiones donde la curvatura es cóncava o
donde se presentan cambios abruptos en la pendiente.
Figura 6: Mapeo Laplaciano.
Destaca una zona crítica alrededor de 𝑥 ≈ 0.6, donde se observa un contraste marcado entre valores
positivos y negativos, lo que sugiere la presencia de una distorsión localizada de alta intensidad. De
manera similar, se identifican otras regiones de variación en 𝑥 ≈ 0.2y 𝑥 ≈ 0.85, asociadas a
irregularidades geométricas de menor escala. En conjunto, el mapa de calor permite visualizar de forma
clara la distribución espacial de las variaciones geométricas, facilitando la identificación de zonas
críticas para su análisis estructural.
pág. 5300
DISCUSIÓN
Los resultados obtenidos evidencian que la integración del escáner láser 3D con herramientas de análisis
matemático basadas en el operador Laplaciano constituye una metodología robusta para la evaluación
geométrica de infraestructuras. La alta densidad de la nube de puntos y la precisión alcanzada en el
registro permitieron generar un modelo tridimensional as-built confiable, lo cual es fundamental para
cualquier análisis posterior. Desde el punto de vista geométrico, la función de deformación total mostró
un comportamiento continuo que refleja la superposición de múltiples irregularidades a lo largo del
puente. Sin embargo, el análisis del Laplaciano permitió ir más allá de la simple identificación de
magnitudes, revelando zonas donde la variación espacial de la geometría es más significativa. Esto
confirma que el operador Laplaciano es especialmente útil para detectar cambios abruptos en la forma,
los cuales no siempre son evidentes en la deformación global.
La correspondencia entre los picos del Laplaciano y las zonas críticas identificadas en las gráficas y
mapas de calor sugiere la presencia de defectos localizados, tales como distorsiones en uniones
estructurales o cambios de pendiente. En particular, la región central del puente mostró una mayor
concentración de variación geométrica, lo cual podría estar asociado a condiciones estructurales
específicas o a efectos acumulados de carga y uso. Asimismo, el modelo gaussiano-laplaciano demostró
ser adecuado para representar la distribución espacial de las irregularidades, ya que permite describir
defectos de manera localizada sin asumir periodicidad.
Esta característica es especialmente relevante en estructuras reales, donde las deformaciones suelen ser
heterogéneas y dependientes del contexto constructivo. No obstante, es importante señalar que el análisis
realizado se centra en la geometría y no incorpora directamente variables estructurales como esfuerzos
o propiedades de los materiales. Por lo tanto, los resultados deben interpretarse como indicadores
geométricos que pueden orientar inspecciones más detalladas o análisis estructurales complementarios.
En conjunto, la metodología propuesta no solo mejora la capacidad de detección de irregularidades, sino
que también aporta una base cuantitativa para la evaluación geométrica, contribuyendo al desarrollo de
enfoques más avanzados en el estudio de infraestructuras existentes.
DISCUSIÓN
Los resultados obtenidos evidencian que la integración del escáner láser 3D con herramientas de análisis
matemático basadas en el operador Laplaciano constituye una metodología robusta para la evaluación
geométrica de infraestructuras. La alta densidad de la nube de puntos y la precisión alcanzada en el
registro permitieron generar un modelo tridimensional as-built confiable, lo cual es fundamental para
cualquier análisis posterior. Desde el punto de vista geométrico, la función de deformación total mostró
un comportamiento continuo que refleja la superposición de múltiples irregularidades a lo largo del
puente. Sin embargo, el análisis del Laplaciano permitió ir más allá de la simple identificación de
magnitudes, revelando zonas donde la variación espacial de la geometría es más significativa. Esto
confirma que el operador Laplaciano es especialmente útil para detectar cambios abruptos en la forma,
los cuales no siempre son evidentes en la deformación global.
La correspondencia entre los picos del Laplaciano y las zonas críticas identificadas en las gráficas y
mapas de calor sugiere la presencia de defectos localizados, tales como distorsiones en uniones
estructurales o cambios de pendiente. En particular, la región central del puente mostró una mayor
concentración de variación geométrica, lo cual podría estar asociado a condiciones estructurales
específicas o a efectos acumulados de carga y uso. Asimismo, el modelo gaussiano-laplaciano demostró
ser adecuado para representar la distribución espacial de las irregularidades, ya que permite describir
defectos de manera localizada sin asumir periodicidad.
Esta característica es especialmente relevante en estructuras reales, donde las deformaciones suelen ser
heterogéneas y dependientes del contexto constructivo. No obstante, es importante señalar que el análisis
realizado se centra en la geometría y no incorpora directamente variables estructurales como esfuerzos
o propiedades de los materiales. Por lo tanto, los resultados deben interpretarse como indicadores
geométricos que pueden orientar inspecciones más detalladas o análisis estructurales complementarios.
En conjunto, la metodología propuesta no solo mejora la capacidad de detección de irregularidades, sino
que también aporta una base cuantitativa para la evaluación geométrica, contribuyendo al desarrollo de
enfoques más avanzados en el estudio de infraestructuras existentes.
pág. 5301
CONCLUSIONES
El modelo gaussiano-laplaciano demostró ser una formulación adecuada para describir y analizar la
variación geométrica en estructuras reales, al integrar funciones gaussianas como representaciones de
defectos localizados con el operador Laplaciano como herramienta de análisis diferencial. Este enfoque
permite no solo identificar la presencia de irregularidades, sino también caracterizar su intensidad,
localización y efecto en la geometría global. La aplicación del Laplaciano evidenció su capacidad para
detectar cambios abruptos en la superficie, mientras que la superposición gaussiana facilitó una
representación continua y no periódica de los defectos. En conjunto, el modelo constituye una base
matemática sólida para el análisis geométrico avanzado, (Matus, 2019).
Validación del modelo mediante coherencia con métricas reales
Una ventaja fundamental del modelo gaussiano-laplaciano es su capacidad de validarse a partir de los
valores numéricos obtenidos en el análisis, como el error medio de registro (1.21 mm), el error RMS
(3.24 mm) y la desviación estándar (2.37 mm). Estos resultados demuestran que el modelo opera dentro
del rango de precisión del equipo (±2 mm), lo cual confirma su confiabilidad. La coherencia entre los
valores medidos y las respuestas del modelo permite asegurar que las variaciones geométricas detectadas
corresponden a condiciones reales y no a errores de adquisición.
Identificación precisa de zonas críticas mediante valores del Laplaciano
El análisis numérico permitió identificar zonas críticas específicas a partir de los valores extremos del
operador Laplaciano, particularmente en regiones cercanas a 𝑥 ≈ 0.6, donde se observó la mayor
concentración de variación geométrica. Estos hallazgos coinciden con los picos de deformación en la
gráfica y con las zonas destacadas en el mapa de calor. La correspondencia entre valores numéricos,
representaciones gráficas y ubicación espacial permite validar la capacidad del modelo para localizar
defectos geométricos de forma precisa, facilitando la interpretación técnica y la toma de decisiones.
Relación entre densidad de datos y calidad del análisis geométrico
Los resultados obtenidos, como un espaciamiento medio de 1.1 mm y una densidad de aproximadamente
800,000 puntos por metro cuadrado, evidencian que el modelo se basa en datos de alta resolución. Esta
densidad permitió capturar con detalle las variaciones geométricas y reflejarlas en los resultados
numéricos del análisis laplaciano.
CONCLUSIONES
El modelo gaussiano-laplaciano demostró ser una formulación adecuada para describir y analizar la
variación geométrica en estructuras reales, al integrar funciones gaussianas como representaciones de
defectos localizados con el operador Laplaciano como herramienta de análisis diferencial. Este enfoque
permite no solo identificar la presencia de irregularidades, sino también caracterizar su intensidad,
localización y efecto en la geometría global. La aplicación del Laplaciano evidenció su capacidad para
detectar cambios abruptos en la superficie, mientras que la superposición gaussiana facilitó una
representación continua y no periódica de los defectos. En conjunto, el modelo constituye una base
matemática sólida para el análisis geométrico avanzado, (Matus, 2019).
Validación del modelo mediante coherencia con métricas reales
Una ventaja fundamental del modelo gaussiano-laplaciano es su capacidad de validarse a partir de los
valores numéricos obtenidos en el análisis, como el error medio de registro (1.21 mm), el error RMS
(3.24 mm) y la desviación estándar (2.37 mm). Estos resultados demuestran que el modelo opera dentro
del rango de precisión del equipo (±2 mm), lo cual confirma su confiabilidad. La coherencia entre los
valores medidos y las respuestas del modelo permite asegurar que las variaciones geométricas detectadas
corresponden a condiciones reales y no a errores de adquisición.
Identificación precisa de zonas críticas mediante valores del Laplaciano
El análisis numérico permitió identificar zonas críticas específicas a partir de los valores extremos del
operador Laplaciano, particularmente en regiones cercanas a 𝑥 ≈ 0.6, donde se observó la mayor
concentración de variación geométrica. Estos hallazgos coinciden con los picos de deformación en la
gráfica y con las zonas destacadas en el mapa de calor. La correspondencia entre valores numéricos,
representaciones gráficas y ubicación espacial permite validar la capacidad del modelo para localizar
defectos geométricos de forma precisa, facilitando la interpretación técnica y la toma de decisiones.
Relación entre densidad de datos y calidad del análisis geométrico
Los resultados obtenidos, como un espaciamiento medio de 1.1 mm y una densidad de aproximadamente
800,000 puntos por metro cuadrado, evidencian que el modelo se basa en datos de alta resolución. Esta
densidad permitió capturar con detalle las variaciones geométricas y reflejarlas en los resultados
numéricos del análisis laplaciano.
pág. 5302
Asimismo, la eliminación del 35% de ruido mejoró la calidad de los datos, evitando distorsiones en el
modelo. Estos hallazgos demuestran que existe una relación directa entre la calidad de los datos de entrada
y la precisión del análisis geométrico obtenido.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Ardito, R. (2019). Flexural capacity of long-span transversely loaded hollow block masonry walls.
Construction and Building Materials, 220, 489–502.
https://doi.org/10.1016/j.conbuildmat.2019.06.042
Barkovich, M. (2013). Un modelo para la distribución de semáforos en una calle como problema
integrador en los cursos introductorios de las carreras de Ingeniería. lajpe revista, 7, 5.
https://doi.org/http://www.lajpe.org/march13/9_LAJPE_734_Mateo_Barkovich_preprint_corr_f
Cerón, J. (2024a). Criterios de diagnóstico de daño en estructuras de acero. Padi, UAEH, 12, 8–16.
https://doi.org/DOI: https://doi.org/10.29057/icbi.v12iEspecial3.13425
Cerón, J. (2024b). Nivel de evaluación del Mecanismo de falla en una construcción de 20 años de edad.
Padi, UAEH, 11(22), 129–137. https://doi.org/DOI: https://doi.org/10.29057/icbi.v11i22.11067
Cerón, J. (2025). Análisis de Daños Sísmicos en Ciudades de México ( 2014 – 2024 ). LATAM, VI, 26.
https://doi.org/DOI: https://doi.org/10.56712/latam.v6i4.4340
Cerón, J. (2026a). Diagnóstico estructural de un muro de mampostería basado en criterios de
vulnerabilidad, capacidad y desempeño mediante análisis evolutivo de fisuras. Ciencia Latina
Revista Científica Multidisciplinar, 10, 29. https://doi.org/DOI:
https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v10i2.23177
Cerón, J. (2026b). Evaluación del riesgo estructural en muros de mampostería fisurados mediante
termografía infrarroja e índice de laminación. Ciencia Latina Revista Científica Multidisciplinar,
10, 29. https://doi.org/DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v10i2.23179
Cho, G. (2008). Funciones de vulnerabilidad y matrices de probabilidad de daño sísmico para
edificaciones de mampostería utilizando técnicas de simulación. Dyna, 63–76.
https://doi.org/https://www.redalyc.org/pdf/496/49611953008
Cruz, A. I. O. (2019). Experimental study of in-plane shear strength of con fi ned concrete masonry
walls with joint reinforcement. Engineering Structures, 182(June 2018), 213–226.
Asimismo, la eliminación del 35% de ruido mejoró la calidad de los datos, evitando distorsiones en el
modelo. Estos hallazgos demuestran que existe una relación directa entre la calidad de los datos de entrada
y la precisión del análisis geométrico obtenido.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Ardito, R. (2019). Flexural capacity of long-span transversely loaded hollow block masonry walls.
Construction and Building Materials, 220, 489–502.
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integrador en los cursos introductorios de las carreras de Ingeniería. lajpe revista, 7, 5.
https://doi.org/http://www.lajpe.org/march13/9_LAJPE_734_Mateo_Barkovich_preprint_corr_f
Cerón, J. (2024a). Criterios de diagnóstico de daño en estructuras de acero. Padi, UAEH, 12, 8–16.
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Padi, UAEH, 11(22), 129–137. https://doi.org/DOI: https://doi.org/10.29057/icbi.v11i22.11067
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https://doi.org/DOI: https://doi.org/10.56712/latam.v6i4.4340
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vulnerabilidad, capacidad y desempeño mediante análisis evolutivo de fisuras. Ciencia Latina
Revista Científica Multidisciplinar, 10, 29. https://doi.org/DOI:
https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v10i2.23177
Cerón, J. (2026b). Evaluación del riesgo estructural en muros de mampostería fisurados mediante
termografía infrarroja e índice de laminación. Ciencia Latina Revista Científica Multidisciplinar,
10, 29. https://doi.org/DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v10i2.23179
Cho, G. (2008). Funciones de vulnerabilidad y matrices de probabilidad de daño sísmico para
edificaciones de mampostería utilizando técnicas de simulación. Dyna, 63–76.
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Cruz, A. I. O. (2019). Experimental study of in-plane shear strength of con fi ned concrete masonry
walls with joint reinforcement. Engineering Structures, 182(June 2018), 213–226.
pág. 5303
https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2018.12.040
Deyazada, M. (2019). Experimental investigations on the resistance of masonry walls with AAC thermal
break layer. Construction and Building Materials, 224, 474–492.
https://doi.org/10.1016/j.conbuildmat.2019.06.205
Dilrukshi, K. G. S. (2010). Numerical modelling of cracks in masonry walls due to thermal movements
in an overlying slab. Engineering Structures, 32(5), 1411–1422.
https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2010.01.019
Flores, V. (2013). Propiedades mecánicas de la mampostería de tabique rojo recocido utilizada en
Chilpancingo , Gro ( México ). Informes de la Construcción, 65, 387–395.
https://doi.org/10.3989/ic.12.084
Matus, R. A. (2019). Obtención de las propiedades mecánicas de la mampostería de adobe mediante
ensayes de laboratorio. Acta Universitaria, 1–13. https://doi.org/ht t p: / /doi . org / 10 .15174 /
au.2019 .1861 Obtención
Maximiliano, A. (2004). Capacidad de deformación de muros de albañilería confinada para distintos
niveles de desempeño. Revista de Ingeniería Sísmica, 75(70), 59–75.
https://doi.org/https://www.redalyc.org/pdf/618/61807003
Napolitano, R. (2019). Methodology for diagnosing crack patterns in masonry structures using
photogrammetry and distinct element modeling. Engineering Structures, 181(November 2018),
519–528. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2018.12.036
Portioli, F. (2013). Limit analysis of masonry walls by rigid block modelling with cracking units and
cohesive joints using linear programming. Engineering Structures, 57, 232–247.
https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2013.09.029
Ruiz, J. (2007). Rehabilitacion sismica de edificaciones de mamposteria para vivienda. Sociedad
Mexicana de Ingeniería Estructural, 443, 1–32.
https://doi.org/https://www.scielo.org.mx/pdf/ris/n80/n80a3
Sielicki, P. (2019). Masonry wall behaviour under explosive loading. Engineering Failure Analysis,
104(June), 274–291. https://doi.org/10.1016/j.engfailanal.2019.05.030
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Chilpancingo , Gro ( México ). Informes de la Construcción, 65, 387–395.
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ensayes de laboratorio. Acta Universitaria, 1–13. https://doi.org/ht t p: / /doi . org / 10 .15174 /
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niveles de desempeño. Revista de Ingeniería Sísmica, 75(70), 59–75.
https://doi.org/https://www.redalyc.org/pdf/618/61807003
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photogrammetry and distinct element modeling. Engineering Structures, 181(November 2018),
519–528. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2018.12.036
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cohesive joints using linear programming. Engineering Structures, 57, 232–247.
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