La edad de las operaciones formales de Jean Piaget y
el
rendimiento académico en matemáticas
Alberto Ernesto Gutiérrez Borda
https://orcid.org/0000-0001-6260-2419
Universidad Nacional San Luis Gonzaga
Facultad de Ciencias Ica - Perú
RESUMEN
El
estudio es descriptivo y correlacional, su interés responde a determinar si
existe asociación entre el nivel de inteligencia del período de las operaciones
formales de Jean Piaget asociado con el rendimiento académico en Matemáticas en
estudiantes de la I.E. Abraham Valdelomar y la I.E. Privada Arbulú de la ciudad
de lca. El objetivo es sistematizar evidencias con
antecedentes teóricos y empíricos sobre la base de conceptualización de las
teorías vinculadas con la enseñanza, comprender los niveles de abstracción
alcanzado por los alumnos. Los resultados obtenidos, revelan que el nivel de
inteligencia del período de las operaciones formales, respecto del rendimiento
académico en Matemáticas junto con las conclusiones constituyen una reflexión
para mejorar los problemas inherentes a la enseñanza.
Palabras
clave: operaciones formales; pensamiento formal; enseñanza
de la matemática.
Jean Piaget's age of formal operations and academic
Performance in mathematics
ABSTRACT
The
study is descriptive and correlational, its interest responds to determining if there is an association between the level of intelligence of the period of the
formal operations of Jean Piaget associated with the
academic performance in Mathematics in students of the I.E. Abraham Valdelomar
and the I.E. Private Arbulú of the city of lca. The
objective is to systematize evidence with theoretical and empirical background
on the basis of conceptualization of theories related
to teaching, to understand the levels
of abstraction reached by
students. The results obtained reveal
that the level of intelligence of the period of formal operations, regarding academic performance in Mathematics, together with the conclusions, constitute a reflection to improve the problems inherent to teaching.
Keywords:
formal operations; formal thinking; teaching
mathematics
Artículo
recibido: 18. Junio. 2021
Aceptado
para publicación: 26. Julio. 2021
Correspondencia:
egutierrez@unica.edu.pe
Conflictos de Interés: Ninguna que declarar
INTRODUCCIÓN
Continuamente en diversos escenarios
se habla de una Matemática moderna, se ensayan diversos y variados proyectos
para mejorar la enseñanza, pero en la mayoría de los casos sus resultados son
para señalar cierto fracaso de la educación Matemática. Frente a esto, uno de
los investigadores a lo que recurren es a Jean Piaget. En el Perú, en los
últimos años ha surgido la propuesta de cambiar la enseñanza tradicional por un
nuevo paradigma educativo, en tal sentido el pensamiento sobre el desarrollo
intelectual del niño está vigente. En los resultados de sus investigaciones
personales, Piaget llegó a establecer que el pensamiento del educando progresa
en cuatro períodos de desarrollo y de éstos el cuarto es las operaciones
formales, etapa de la abstracción y, comprende el aprendizaje de la Matemática
(Labinowicz, 1987).
El estudio recoge esta preocupación
bajo la propuesta del método modelo lógico INRC. La selección de dos Instituciones
uno estatal y otro privado, es intencional por razones metodológicas, se trata
de una prueba de especialización y es aconsejable aplicarlo en una muestra no
muy grande, con el objeto de que sea adecuadamente interpretado.
El objetivo general es conocer si
existe correlación entre el nivel de inteligencia del periodo de las
operaciones formales de Piaget y el rendimiento académico en Matemáticas en dos
instituciones educativas, al ser del tipo descriptivo y correlacional, se
utiliza el muestreo estratificado por proporciones. Los resultados señalan que
es posible diseñar una propuesta para el fortalecimiento del pensamiento lógico
formal.
Piaget ha demostrado que los niños
piensan en forma diferente a los adultos, que su pensamiento se va desarrollando
desde su nacimiento, pasando por una serie de etapas hasta adoptar el
pensamiento de los adultos. Para llegar a estas conclusiones, utilizó durante
los primeros años de vida, la observancia cuidadosa de sus reacciones frente a
situaciones problemáticas. La preocupación permanente es como aprender de
manera eficaz, tal como señala Jean Dieudonné la
matemática es un campo en el que sólo se manejan abstracciones, lejos de la
realidad concreta de la experiencia sensible (Piaget, Choquet
et al., 1986).
EL
PROBLEMA
Los factores que influyen en el
rendimiento académico en Matemáticas son numerosos, autores bien calificados
hablan de un bajo desempeño en esta asignatura. En el proceso
enseñanza-aprendizaje se encuentra cuatro preguntas básicas que son: ¿Por medio
de que procesos o instrumentos fundamentales los niños aprenden? ¿Cuáles son
los factores vitales que los niños y jóvenes hacen intervenir en el proceso
educativo? ¿Qué condiciones facilitan u obstaculizan el aprendizaje? ¿Qué es lo
que aprenden y pueden aprender los seres humanos? ¿Cuál es la amplitud y cuál
es el límite de la aportación que el maestro puede hacer en condiciones
favorables?
Las cuatro preguntas y respuestas,
se ubican en el lenguaje, la psicología, el contenido y el método. Las aristas
básicas académicas en el proceso educativo son: la comunicación con el
lenguaje; la psicología con su aplicación en la educación; los contenidos con
su semántica actual; y el método. De estas aristas académicas en el proceso
educativo, nos interesa la psicología y su aplicación en la
educación. Las teorías psicológicas que explican la enseñanza aprendizaje en
matemáticas, son los de Skinner, Piaget, Ausubel y Gagné. Sin embargo, se ha
prestado mayor atención a los de Jean Piaget, sobre cómo se desarrolló el
pensamiento de los niños considerando diferentes edades; y las de Zoltan Dienes, sobre como
aprender Matemáticas (Palomino, 1977; Gil y De Guzmán, 1993).
OBJETIVOS
General
§ Determinar la correlación existente
entre el nivel de inteligencia del período de las operaciones formales de Piaget y el rendimiento académico en
Matemáticas en la I.E. Abraham Valdelomar y la I.E. Privada Arbulú de la ciudad
de Ica.
Específicos
§ Describir las causas de correlación
entre el puntaje obtenido en el manejo del modelo lógico INRC y el rendimiento
académico en Matemáticas en ambas Instituciones Educativas.
§ Identificar si existe diferencias en
los promedios de los puntajes obtenidos en el manejo del modelo lógico INRC en
ambas Instituciones Educativas.
JUSTIFICACIÓN
Para Felipe Sebastiani
(1994), de manera consciente e inconsciente se descuida la importancia que
tiene la psicología aplicada a la educación. Por otro lado, Lorenzo Reyna
(1993) sostiene que el material de trabajo de los docentes en el quehacer
educativo es la mente del niño y que esta es materia sumamente delicada, de
esta manera la psicología y su aplicación se convierten en una arista básica
académica en el proceso educativo. El aporte, sobre cómo se desarrolla el
pensamiento de los niños considerando diferentes edades es fundamental en el
proceso enseñanza aprendizaje, utilizar como un método para estudiar el
desarrollo del pensamiento (Piaget, 1999).
1.
Modelo lógico INRC
Considera como el adolescente
manipula las conclusiones que ha derivado de un experimento. Existen cuatro
reglas que el adolescente puede utilizar y manipular las funciones: Identidad
(I), Negación (N), Reciprocidad (R) y Correlatividad (C). Hasta hace poco, se
pensaba que todas las personas aprendían casi de la misma manera y que existía
sólo una forma de enseñar. Hoy, se advierte la existencia de diferentes
concepciones sobre la inteligencia humana y los estilos cognitivos que conduce
a las personas al aprendizaje. La inteligencia es una realidad muy compleja de
caracterizar, es un constructo utilizado para estimar, explicar o evaluar
algunas de las diferencias conductuales de las personas: éxitos o fracasos
académicos; forma de relacionarse con los demás; desarrollo de habilidades.
Gardner fundamenta su estructura en
pruebas biológicas y antropológicas, especialmente en bases neurológicas,
evolucionistas y transculturales, define una inteligencia como “la capacidad de
resolver problemas, o de crear productos, que sean valiosos en uno o másnambientes culturales”
(Gardner, 1993).
2.
La psicología educativa y la Matemática
El Rendimiento Académico es
entendido por Howard (1970) como una medida de las capacidades indicativas que
manifiestan en forma estimativa, lo que una persona ha aprendido como
consecuencia de un proceso de instrucción o formación. En cambio, Gardner
(2000) ha puesto de manifiesto el problema que han tenido que afrontar todas
las sociedades modernas al momento de resolver el problema educativo. Esto ha
significado que cualquiera que sea el tipo de sociedad, debe adaptarse a formas
tradicionales de transmisión del conocimiento.
Las Ciencias de la Pedagogía se
entrelazan mejor para la formación de un sistema de educación eficiente a
través del mundo. Entre diversas ciencias está la Psicología educativa, que
viene en auxilio para el estudio de la Pedagogía y su efecto en los estudiantes
como seres humanos con el fin de lograr experiencias de aprendizajes duraderos.
El núcleo central entre estas dos ciencias es aquello que provee a la
psicología educativa de una estructura científica constitutiva y propia, que
viene conformado a través del estudio del aprendizaje; como fenómeno
psicológico que depende básicamente de las aptitudes, diferencias individuales
y del desarrollo mental (Toranzos, 1992).
3. Teorías
psicológicas que explican la enseñanza - aprendizaje de la Matemática
3.1 El aprendizaje según Skinner
B.F. Skinner el pionero de la
Instrucción Programada; en 1968, formuló un método de enseñar y escribir
denominado “Escribe y Mira” que empleaba un cuaderno especial y una tinta que
solo era visible si el alumno escribía o anotaba la palabra correcta; está
técnica aseguraba una corrección instantánea y, por esta razón, es un esfuerzo
eficaz. En la actualidad, tiene serias objeciones respeto a su incidencia en el
aprendizaje, costos, elaboración de materiales, sin embargo, el enfoque de
Skinner aún mantiene su importancia.
3.2
El aprendizaje según Jean Piaget
Piaget, no acepta una psicología
científica que no sea la epistemología genética, la cual busca estudiar la
naturaleza del conocimiento en función de su crecimiento. Sus estudios han
demostrado que los niños poseen una especial capacidad para el autoaprendizaje,
aun antes de recibir una instrucción formal. Según Piaget, estas experiencias
deben comenzar desde muy temprana edad con el fin de compensar los procesos de
adaptación de cada uno de los estadios de desarrollo. Presenta las siguientes
características: (a) La dimensión biológica. Piaget plantea que el aspecto
biológico de los individuos desarrolla un papel muy importante en el proceso del
desarrollo intelectual; (b) Punto de vista interaccionista: el conocimiento
debe ser entendido como una relación de interdependencia entre el sujeto
cognoscente y el objeto de conocimiento, el sujeto cognoscente actúa sobre un
objeto, determina dos tipos de abstracción: a nivel empírico, si extrae del
objeto sus propiedades relativas; a nivel reflexivo, cuando extrae informaciones de las acciones que el sujeto ejerce
sobre el objeto; el constructivismo genético: ningún conocimiento humano se
encuentra preformado ni en las estructuras constituidas del sujeto ni en la de
los objetos (Ginsburg y Opper,
1982).
3.3.
El aprendizaje según Dienes
Dienes sostiene que, para que el
aprendizaje se produzca en Matemática, se requiere que se realice un proceso en
el que se distingue seis etapas bien tipificadas: (1) Antes que el sujeto logre
aprender algo es necesario e imprescindible que esté familiarizado con el mundo
inmediato que lo rodea; (2) Continúa la adaptación pero se desarrolla con
reglas predeterminadas que orientan más claramente la actividad del individuo
hacia los objetivos del aprendizaje; (3) En este nivel el individuo comienza a
desechar todo aquello que no tiene una importancia significativa en la
estructura, quedándose únicamente con lo significativo; es decir, el
isomorfismo del juego; (4) Tener la idea de una estructura no es suficiente y
está propenso al cambio u olvido, para un mejor dominio de la idea es necesario
una representación esquemática de las mismas; (5) Cuando la idea está claro y
bien representada, es necesario la comunicación, elaborar un lenguaje apropiado
que constituye la base del futuro sistema de axiomas y las estructuras; (6)
Organizar un sistema formal de conocimientos sobre la estructura en estudio, en
Matemáticas este sistema tendrá axiomas, demostraciones y teoremas; es la etapa
de la formalización.
4.
Factores que influyen en el desarrollo intelectual
Según Piaget, la mente humana, en
lugar de realizar pasivamente una copia mental de la realidad, hace una copia
física, nuestra mente interpreta la información recibida de la realidad y
construye activamente una representación de ella, y Piaget señala los factores
que influyen en el desarrollo intelectual.
§ El
balance entre la estabilidad y el cambio: en el proceso de asimilar nuevas experiencias dentro de nuestro marco de referencias nos resistimos
al cambio, a tal grado que nuestras percepciones pueden ser tergiversadas para
ajustarse al marco existente. En cada nivel superior de comprensión, el ser
humano debe estar dotado de una estructura más amplia o patrones de pensamiento
más complejos.
§ La
maduración: mientras
más años tenga un niño es más probable que tenga un mayor número de estructuras mentales que actúan de manera
organizada. Es recién alrededor de los 15 o 16 años que el sistema nervioso,
las habilidades motoras y perspectivas logran alcanzar su madurez.
§ La
experiencia física: cuando
más experiencia posea un niño con objetos físicos de su medio ambiente es más probable que desarrolle un apropiado
conocimiento de ello.
§ La
interacción social: este factor se refiere a la importancia que tiene las
relaciones del niño con personas que les presenten otros puntos de vista esta
experiencia les estimula a pensar utilizando diversas opiniones. Durante la
etapa del desequilibrio, cuando el niño comienza a sentir las contradicciones
en su razonamiento, parece haber una ruptura en sus estructuras estables
intelectuales existentes seguida de una reorganización en los patrones de su
pensamiento hacia nuevas estructuras.
5.
El aprendizaje según David Ausubel
Centró su investigación sobre el
aprendizaje interesándose en los tipos como se presentan en la escuela y que,
son dos: el aprendizaje por recepción y el aprendizaje verbal por
descubrimiento. Su teoría se centra en lo que él denomina aprendizaje verbal
significativo que señala su viabilidad gracias a una estructura cognoscitiva.
Afirma que si conceptos pre-existentes son estables y
claros se conseguirán significados precisos que podrán ser retenidos; en
cambio, si es inestables y mal organizados el aprendizaje será inhibido.
Respecto a un método de estudio en esta ciencia, el alumno caerá en un engaño
al creer que aprende Matemática estudiando de memoria una serie de conceptos
abstractos. No debe olvidarse que el
primer objetivo de la enseñanza - aprendizaje de la Matemática debe ser el
desarrollo progresivo de las destrezas mentales de los alumnos.
6.
El aprendizaje según Robert Gagné
Para Gagne
el propósito de cualquier programa de educación debe ser el promover el
aprendizaje; debe tratarse de capacitar a las personas para que puedan
modificar su conducta con una cierta rapidez y en una forma más o menos
permanente. Esta teoría es cognoscitiva; según ella, el aprendizaje es
considerado como un conjunto de acciones cuya función es transformar o procesar
la información que ingresa al sistema humano de una manera análoga al
funcionamiento de una computadora.
Para Gagne,
el aprendizaje se produce como una consecuencia de la interacción entre el
alumno y el medio ambiente que lo rodea. Así se tiene que la información del
medio ambiente que le interesa, motiva o impresiona, afecta sus órganos
receptores e ingresa al sistema nervioso mediante el registro sensorial que es
la estructura responsable de la percepción inicial que el alumno observa,
percibe, escucha y toca.
Lo percibido ingresa a la memoria a
corto plazo donde la información se vuelve a cifrar en forma de concepto. Su
permanencia en este tipo de memoria es de pocos segundos pasando luego a la
memoria a largo plazo (Gagné et al., 1975).
Es posible clasificar estas
múltiples formas de comportamiento para comprender y mejorar el proceso del
aprendizaje. Sostiene que los resultados de este aprendizaje establecen cinco
clases de facultades; estas son: Información verbal, habilidades intelectuales,
estrategias cognoscitivas, aptitudes y habilidades motoras.
7.
Las etapas del desarrollo del pensamiento formal según Piaget
El pensamiento formal aparece a
partir de los 12 o 13 años, se caracteriza por el desarrollo de la habilidad
para pensar más allá de la realidad concreta, ya puede entender plenamente,
generar abstracciones verbales y proposicionales en vez de objetos concretos;
teóricamente, puede estudiar Geometría, sin embargo, sugiere que, por ser de
mayor comprensión, se utilice el método inductivo.
En el período de operaciones
formales, el sujeto es capaz de razonar correctamente, sobre proposiciones o
hipótesis, aprende a obtener las conclusiones necesarias a partir de verdades
posibles, el sujeto tiene la posibilidad de razonar con rigor, lo que
constituiría el comienzo del pensamiento hipótesis deductiva (Piaget, 1995).
Esta etapa se caracteriza de acuerdo con el autor por la posesión de ocho
esquemas. Los esquemas son estructuras mentales que le permiten al sujeto incorporar
experiencias (asimilación) o conocimientos e integrarlos (acomodación) a los
que ella posee, de acuerdo con la teoría de equilibración.
estos esquemas son: compensaciones multiplicativas, pensamiento correlacional,
pensamiento probabilístico, pensamiento combinacional, pensamiento
proporcional, formas de conservación sin verificación directa, equilibrio
mecánico y la coordinación de dos o más sistemas de referencia. Por otro lado,
en lo que se refiere a las capacidades específicas
entendemos: como aquellas capacidades especializadas para el pensamiento, que
con la mediación cultural y el hecho de que el pensamiento se funde en la
actividad implican la especificidad contextual de los procesos mentales.
Tal como corrobora Gardner “para aquellos
adolescentes que se encuentran en la etapa formal operativa, la presencia de estímulos concretos y la necesidad de actividades
concretas ya no es necesaria. Un operador formal es capaz de razonar
exclusivamente en el terreno de las proposiciones” (Gardner, 1993; p. 41).
Mediante un aprendizaje informal se puede memorizar unos cuantos textos
aislados e incluso aprender una disciplina. Pero cuando lo importante es el
conocimiento de varias disciplinas y sistemas simbólicos, la enseñanza formal
demuestra todo su potencial” (Gardner, 2000).
8.
El modelo lógico INRC de Piaget y las estructuras Matemáticas
La Matemática se encuentra presente
en las teorías Piagetana, que considera las
estructuras fundamentales: algebraicos, topológicos y de orden, como modelo de
estructura cognoscitiva. Esto lo confirma Piaget, en su artículo: “Las
estructuras Matemáticas y las estructuras operatorias de la inteligencia”,
sobre todo, las operaciones lógicas que requiere condiciones necesaria previas,
se encuentran en todas las etapas, primero, una tendencia a la organización de
totalidades o sistemas, fuera de las cuales los elementos carecen de
significado y aún de existencia, y enseguida, una distribución de estos
sistemas de conjuntos según tres especies de propiedades que corresponden
precisamente a las de las estructuras algebraicas, las estructuras de orden y
las estructuras topológicas” (Piaget, Beth y Dieudonné
et al., 1971).
Es preciso señalar en la base de los
modelos de Piaget de las estructuras elementales de la inteligencia, está el
criterio de reversibilidad que constituye “ley fundamental de las composiciones
propias de la inteligencia” que se presentan desde los esquemas sensoriomotrices bajo dos formas complementarias e
irreducibles: la inversión o negación y la reciprocidad.
La reversibilidad significa hacer
algo que anule o compense una acción previa, de modo que tenga una situación
similar a la que tuvo antes.
Tal como señala Piaget sobre estas
dos formas reversibilidad “que encontramos de nuevo juntas a lo largo de todo
el desarrollo y que sólo llegarán a una síntesis en un sistema único cuando, al
nivel de las operaciones formales, después de los 11 años, se constituyan el
grupo de las cuatro transformaciones interproposicionales” (Piaget et al, 1971,
p. 10). En cuanto a la vinculación con el aprendizaje de la Matemática, se
puede indicar que mientras no haya reversibilidad en el pensamiento, no pueden
existir en el niño nociones de conservación.
Estructuras algebraicas. Son relaciones donde se definen como
“leyes de composición”; esto es,
relacionar tres elementos del conjunto, de modo que uno de ellos queda
determinado de manera única en función de los otros dos. Una estructura
algebraica de vital importancia es la estructura de grupo; según Piaget, expresa
algunos de los mecanismos más característicos de la inteligencia.
Se explica así, si G es un conjunto
cualquiera se define una ley de composición, tal que se cumpla:
§ Que el conjunto G sea cerrado
respecto a tal ley;
§ Que todo elemento de G tenga un
correspondiente elemento inverso
§ Que existe un elemento identidad en
G, y
§ Que la ley de composición sea
asociativa, diremos que tal conjunto,
con su ley de composición, tiene una estructura de grupo (Piaget, Beth y Dieudonné et al., 1971, p, 11).
Al respecto, Malaspina, señala,
“debemos reconocer que desde el punto de vista del rigor matemático estas
afirmaciones no son suficientemente claras, pero Piaget estaba convencido de
que el grupo es la “traducción simbólica” de algunos de estos caracteres
fundamentales del acto de inteligencia: la posibilidad de una coordinación de
las acciones; la posibilidad de los retornos (se está refiriendo a la
existencia del inverso de cada esquema en acción; es decir, a la
reversibilidad), y la posibilidad de los giros, se está refiriendo a la
asociatividad” (Thorne, 1997).
Estructura de orden: podemos afirmar que son estructuras
de relaciones y no de operaciones,
claramente la relación se define para dos elementos del conjunto, esta relación
cumple con la propiedad de: reflexibilidad, antisimétrica y transitiva; además,
dos elementos de un conjunto tienen un supremo e ínfimo, Piaget llama
reticulado y señala la reversibilidad en el retículo, no en forma de inversión
sino en forma de reciprocidad; esto es, una transformación con el orden
permutado, pero sin negación de las operaciones que intervienen.
Estructuras topológicas: tiene que ver con nuestra
concepción del espacio, Tola Pasquel da
un concepto de topología como “la topología propiamente dicha, estudia las
propiedades que no cambian por transformaciones que tienen lugar entre espacios
en los que no necesariamente existe una noción de distancia, existe una manera
de determinar la cercanía o proximidad de los elementos, tales conjuntos se
llaman espacios topológicos” (Tola, 1992).
En la medida que se entiende la
vinculación de la topología con la geometría se puede también entender la
importancia que le dio Piaget a estas estructuras, observando que el niño va
aprendiendo a comprender el espacio y señalando criterios de curva cerrada, su
interior y exterior, fronteras, concepto de cercanía (Piaget y Bárbel, 1983).
9.
Análisis del funcionamiento del modelo lógico INRC
El
grupo señalado contiene cuatro transformaciones, esto es el grupo de Klein, que
se define en la forma:
§ La
inversa o negación (N) es
su complementaria en el conjunto de asociaciones de base;
§ La
recíproca (R), de
una operación es la misma operación entre proposiciones negadas;
§ La
correlativa (C), de una operación resulta de la permutación de los
(˅) y de los(˄).
§ La
transformación idéntica (I) deja intacta la operación.
Dos operaciones proposicionales para
implicaciones asociadas: el condicional → ,
que llamamos directo; en conexión con él, se presentan otros tres, obtenidas
por permutaciones y negaciones del antecedente y
consecuente: → recíproco; ~
→ ~ contrario; ~ → ~ contra recíproco. Las cuatro implicaciones
propuestas se llaman conjugadas, y cualquiera de ellos puede formarse como
directa, las implicaciones contra recíprocas son tautológicas.
Veamos las negaciones,
reciprocidades, correlatividades e identidades:
Negación: ( ∨
) = (∼ ∧ ~ )
Reciprocidad: ( ∨
) = (∼ ∨ ~ )
Correlatividad: ( ∨
) = ( ∧
)
Si combinamos algunas de estas
operaciones se deduce que:
=∼ (∼∨ ~ ) =
=∼ ( ∧
) = (∼∨ ~
) =
= (∼∧ ~ ) =
=∼ (~ ∧ ~ ) = ∨ =
Piaget dice que “se comprueba que
este grupo INRC constituye una estructura algebraica, se incorpora, no
obstante, las reciprocidades que constituyen la forma de reversibilidad de las
estructuras de orden. Psicológicamente, este grupo constituye a la vez la
síntesis y la forma de equilibrio final de las series de estructuras
operatorias hasta allí distintas y fundadas la una sobre inversión y la otra
sobre la reciprocidad” (Piaget, 1994; Piaget, 1995).
METODOLOGIA
Tipo de estudio descriptivo
correlacional; población 343 estudiantes de ambos sexos del cuarto y quinto
grado de secundaria, matriculados en la I.E. Abraham Valdelomar y I.E. Privada
Arbulú; la muestra 143 estudiantes, muestras que se obtuvo utilizando la
ecuación de muestreo simple para estudio de promedio, considerando 5% de error;
nivel de confianza =
1,96 y máxima variabilidad = 0,5 y =
0,5; con ajuste al tamaño de la
población. La variable independiente: nivel de inteligencia del periodo de las
operaciones formales de Piaget, cuyo indicador es el puntaje obtenido en el
manejo del modelo lógico INRC, aplicación de cuestionario. La variable
dependiente: rendimiento académico en Matemáticas, el indicador son las notas
obtenidas del registro del profesor. El instrumento se caracterizó por ser una
prueba objetiva estructurada de 20 reactivos 17 cerrados con opción múltiple y
tres abiertas. De acuerdo a Tirado Segura, la prueba de opción múltiple tiene
cuatro características principales: (1) si se sabe la respuesta correcta, las
alternativas no ayudan ni confunden; (2) si no se sabe con certeza, pero se
tiene una idea, las alternativas ayudan a reconocer y a confirmar la respuesta
correcta; (3) si se tiene una idea vaga de la respuesta correcta, las
alternativas se vuelven una fuente de confusión; si no se tiene ni siquiera una
idea de la respuesta, las alternativas no ayudan ni confunden” (Tirado; 1986).
En la elaboración del instrumento se
utilizaron el plan de programas de educación secundaria, fuente MINEDU, siendo
la base los objetivos y fundamentos teóricos del modelo lógico INRC.
Bloques |
Reactivos |
Indicadores |
|
Características |
||
|
|
|
|
|||
I |
7 |
Uso
de conceptos- |
Responden
al objetivo de aprendizaje. |
|||
|
|
pensamiento
operativo |
Es
claro, preciso y delimitado. |
|||
|
|
concreto |
Está |
exento |
de |
pretensiones |
|
|
|
capciosas. |
|
|
|
II |
3 |
Tránsito
concreto formal |
|
|
||
|
|
|
Está
exento de claves que lleven a la |
|||
III |
3 |
Pensamiento
lógico |
||||
|
|
|
respuesta
correcta. |
|
|
|
IV |
4 |
Pensamiento
lógico formal |
|
|
||
|
|
|
Es independiente,
su solución no |
|||
V |
3 |
Pensamiento
lógico formal |
||||
|
|
construcción
de modelos |
depende de
las respuestas de
otros |
|||
|
|
|
reactivos. |
|
|
|
|
|
|
Tiene
un grado de dificultad acorde |
|||
|
|
|
con
el criterio de logro de aprendizaje |
|||
|
|
|
que
se espera. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bloque
I, pensamiento operativo concreto: Los reactivos tiene característica señalados por J. Piaget, el pensamiento
operativo concreto se forja entre 7 y los 11 años, en esta etapa el ser humano
es capaz de mostrar el pensamiento lógico ante los objetos físicos. Una
facultad recién adquirida de reversibilidad le permite invertir mentalmente una
acción que antes sólo había llevado a cabo físicamente. Aparecen los esquemas
para las operaciones lógicas de seriación y clasificación. Por lo general en
esta etapa operativa concreta todavía no es posible aplicar la lógica a
problemas hipotéticos, exclusivamente verbales o abstractos.
Bloque II, transición pensamiento
concreto formal: los
reactivos puntualizan el estadio
intermedio entre la capacidad operativa concreta y la formal.
Bloque III, pensamiento lógico
matemático: para
evaluar esta cualidad del pensamiento,
los reactivos deben recoger a partir de una lectura bastante crítico analítica
del enunciado permita deducir la solución, la finalidad es medir su capacidad
de generalización a partir de un conjunto de premisas.
Bloque IV, pensamiento lógico formal: etapa caracterizada por la forma de pensar más allá de la realidad concreta; ya puede pensar acerca de relación
de relaciones y otras ideas abstractas, la capacidad de manejar a un nivel
lógico, enunciados verbales y proposiciones en vez de objetos concretos
únicamente, entender las abstracciones simbólicas generadas por el álgebra.
Bloque V, pensamiento lógico formal
y construcción de modelos: tres
reactivos, sin alternativas, el
propósito es pedir que escriban las expresiones matemáticas; es decir, conjunto
de ecuaciones que al juicio del alumno expresen con claridad la solución del
problema, concretamente que sepan hacer modelos matemáticos.
Identidades
(I), negaciones (N), reciprocidades (R) y correlatividad (C)
La mayor parte de los reactivos que
cambian en su interpretación están implicadas la seriación, clasificación y se
reduce al algoritmo lógico de la forma − =
,
donde está inmerso la inversión o negación. Entonces, la solución de los
reactivos requiere de estrategias cognoscitivas como la clasificación,
reconocer que la resta es una operación inversa a la suma, hay una
reversibilidad: negación, reciprocidad. Los reactivos que no
pueden ser resueltos en una sola operación, para dar solución es necesario
determinar el segundo término. El sujeto debe desarrollar la capacidad para
reconocer que los datos por sí sólo, no determina la solución. así como, la
capacidad de discriminar la solución simplificada de los datos; esto es,
correlacionar variables.
Al respecto Piaget afirma “las tres
estructuras fundamentales sobre las cuales reposa el edificio matemático, según
el grupo Bourbaki, serían las estructuras
algebraicas, cuyo prototipo es el grupo, las estructuras de orden y las
estructuras topológicas” (Piaget, 1965).
El
grupo de los cuatro elementos de Klein
Fue necesario un reactivo que
consiste en el conjunto { , , , } de los cuatro elementos de Klein,
para el cual dado una ley de composición definida por una tabla de doble
entrada se pide la construcción del grupo de Klein para el conjunto {2,3,4,5}, en este caso el estudiante debe descubrir la analogía,
observando la diagonales y las simetrías que presentan, pero en forma
abstracta.
ANÁLISIS
Y DISCUSIÓN
Análisis univariado: para abrir el análisis de
información empírica de la variable independiente
se procedió a calificar el cuestionario, hacer un cuadro comparativo entre
ambos colegios, los porcentajes de aciertos y errores de los alumnos
examinados, considerando el rango de respuestas que oscila entre 0 a 20, para
la variable dependiente, se procedió a obtener las notas del rendimiento
académico en Matemáticas extraídas del registro del profesor.
Los cuadros muestran el promedio de respuestas correctas y
erróneas, bloques donde el grupo demuestran tener solvencia respecto del uso de
conceptos y del pensamiento operativo concreto, bloques donde demuestra
capacidad para resolver problemas con cierto grado de dificultad, evidencia
donde el porcentaje de respuesta inadecuadas a problemas atinentes a
construcción de modelos matemáticos a partir de un enunciado.
Los siguientes cuadros muestran las
pruebas estadísticas, el nivel de significancias por grado de estudios, las
reacciones en cada bloque, la evolución del nivel de abstracción comparados,
limitación para elaborar un algoritmo matemático respecto de un problema.
Análisis bivariado: para probar las hipótesis, se procedió a realizar la
estimación de variables con el
objeto de determinar el grado de significación, el tipo de curva que se ajustó
mejor a nuestro trabajo es la regresión lineal, a un nivel de confiabilidad del
95%, con un valor de =
0,05 el grado de asociación se evidencia
en el siguiente en cuadro.
Ajustes |
Cuarto
grado |
Quinto
grado |
Cuarto
grado |
Quinto
Grado |
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I.E.
Abraham |
I.E.
Abraham |
I.E.
Privada |
I.E.
Privada |
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Valdelomar |
Valdelomar |
Arbulú |
Arbulú |
|
|
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|
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Coeficiente |
de |
0,217980 |
0,143488 |
0,174883 |
0,249587 |
correlación |
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|
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Coeficiente |
de |
0,047515 |
0,020588 |
0,030584 |
0,062293 |
determinación |
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|
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ajustado |
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0,030197 |
-0,006616 |
-0,023272 |
0,028804 |
|
|
0,1628 |
0,855 |
0,729 |
1,325 |
Muestra |
|
57 |
38 |
20 |
30 |
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Validación
de las hipótesis
Hipótesis 1: fue planteado como la existencia
de correlación entre el puntaje obtenido en
el manejo del modelo lógico INRC y el rendimiento académico en Matemáticas
en la I.E. Abraham Valdelomar, haciendo la prueba de significación de = 0,01673, mediante la transformación = 2,023
queda validado.
Hipótesis 2: fue planteado como la existencia
de correlación entre el puntaje obtenido en
el manejo del modelo lógico INRC y el rendimiento académico en Matemáticas
en la I.E privada Arbulú de la ciudad de Ica, con la prueba de confiabilidad al
95% y = 0,05 queda validado.
Hipótesis 3: que afirmaba, el promedio de los
puntajes obtenidos del manejo del modelo
lógico INRC en la I.E. privada Arbulú es mayor que en la I.E. Abraham
Valdelomar; aplicando la prueba diferencia de medias se obtuvo = 12,467 y queda probada, siendo ̅= 11,26 y
̅ = 7,39,
con desviaciones típica 2,7792 y 2,5865 respectivamente.
CONSIDERACIONES FINALES
Existen situaciones que rebasa el
objetivo de la investigación y, es conveniente hacer una reflexión en torno al
hecho de que el aprendizaje manifestado por los estudiantes responde a una
experiencia del propio proceso de aprendizaje. Ante los bajos resultados
obtenidos por respuestas a diferentes ítems, cabe preguntarse por la
profundidad y significación con que se abordan los temas en el aula; pese a
cambios continuos de los programas curriculares, todo parece indicar que la
asignatura de Matemática continúa siendo abordada a través de procesos
tradicionales, y se descuida la exigencia de propiciar en el alumno el
desarrollo de las capacidades cognitivas que le permitan y ayuden a fortalecer
su capacidad de abstracción.
El desarrollo del razonamiento
lógico implica que el alumno formule juicios inductivos y analógicos en forma
ordenada y secuencial, aplicar el razonamiento formal en el aprendizaje permite
adquirir la capacidad para dominar alternativas, juicios e hipótesis.
Los resultados manifiestan que el
nivel de respuestas correctas relativamente bajo, puede deducirse de la teoría
de Piaget que, conforme a la edad, su proceso de desarrollo cognitivo introduce
al sujeto en un período de operaciones formales en donde la abstracción es
primordial.
La existencia del nivel de
asociación resulta importante, sobre todo como lo señala J. Dieudonné,
las matemáticas es un campo en el que sólo se manejan abstracciones. En los
medios docentes de un modo especial, se suele deplorar este estado de cosas;
significa tampoco poner al alumno desde el principio en contacto con
concepciones demasiadas abstractas para sus posibilidades de asimilación, si no
que la Matemática debe presentarse a su verdadera luz a medida que se dibujan
en el adolescente las estructuras del pensamiento (Piaget, Beth, Dieudonné et al., 1971 p. 42).
Queda claro entonces, que si al niño
se le estimula tempranamente a realizar: identidades, negaciones,
reciprocidades y correlatividades, mejoraría mucho su rendimiento académico,
estimular a concebir la Matemática como una forma de pensar, matematizarenel
mundo físico que lo rodea, y no solo como un conjunto de conocimiento que debe
aprender y memorizar.
La mayoría de los educandos difieren
mucho en cuanto al nivel de maduración en las tareas y actividades que realiza,
algunos alcanzan las últimas etapas mentales aun cuando llega a la adultez.
Piaget sugiere que tengamos presente esta individualidad en la tarea educativa
porque no todos los adultos alcanzan el mismo nivel de maduración en las tres
formas de inteligencia. Pero lo importante de todo esto es que no existe
primacía de una forma de inteligencia sobre otra, todas las necesitamos en un
determinado momento de nuestra vida, de allí que es bueno mirar los resultados
para poner énfasis y desarrollar también las formas de inteligencias motora y
práctica que son las que dan el soporte a la abstracción.
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